Question

如圖1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以O(shè)B為邊，向外作等邊△OBC，D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．
（1）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據(jù)D為OB的中點(diǎn)，得DO=DA，可得出∠AEO=60°，再根據(jù)△OBC為等邊三角形，得∠BCO=∠AEO=60°，從而得出BC∥AE，由∠BAO=∠COA=90°，得OC∥AB，可證明四邊形ABCE是平行四邊形；
（2）由∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，根據(jù)三角函數(shù)可求得OA，在Rt△OAG中，根據(jù)勾股定理得出OA²+OG²=AG²，設(shè)OG=x，由折疊可知：AG=GC=4-x，可得x2+(2

3

)2=(4-x)2，解得x即可得出OG的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：在Rt△OAB中，D為OB的中點(diǎn)，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°
又∵△OBC為等邊三角形
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴OC∥AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
（2）解：在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，
∴OA=AB•tan60°=2×

3

=2

3

．
在Rt△OAG中，OA²+OG²=AG²，設(shè)OG=x，
由折疊可知：AG=GC=4-x，可得x2+(2

3

)2=(4-x)2，
解得x=

1

2

，
∴OG=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定和等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理、折疊問題，是中學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容．