Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）如圖1，連結(jié)BC，在線段BC上是否存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中m＞0，n＜0），連結(jié)PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E的坐標(biāo)為（，）、（0，﹣4）、（，）；（3），（，）．

【解析】

試題（1）采用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；

（2）先求得直線BC的解析式為，則可設(shè)E（m，），然后分三種情況討論即可求得；

（3）利用△PBD的面積即可求得．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)（）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點(diǎn)，

∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為；

（2）由二次函數(shù)可知對稱軸x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函數(shù)可知B（0，﹣4），設(shè)直線BC的解析式為，∴，解得：，∴直線BC的解析式為，設(shè)E（m，），

當(dāng)DC=CE時(shí)，，即，解得，（舍去），∴E（，）；

當(dāng)DC=DE時(shí)，，即，解得，（舍去），∴E（0，﹣4）；

當(dāng)EC=DE時(shí)，，解得=，∴E（，）．

綜上，存在點(diǎn)E，使得△CDE為等腰三角形，所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，）、（0，﹣4）、（，）；

（3）過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，∵P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，

∵△PBD的面積

==

=，

∴當(dāng)m=時(shí)，△PBD的最大面積為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）．