Question

【題目】如圖，在△ABC中，D、E分別是AC、AB的中點，CF∥AB交ED的延長線于點F，連接AF、CE.

(1)求證：四邊形BCEF是平行四邊形；

(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是菱形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當∠ABC=90°時，四邊形AECF是菱形，詳見解析

【解析】

（1）由三角形中位線定理可得DE∥BC，BC=2DE，且CF∥AB，即可證四邊形BCFE是平行四邊形；

（2）首先證明四邊形AECF是平行四邊形，且AC⊥EF，可得四邊形AECF是菱形．

（1）證明：∵D、E分別是AC、AB的中點，

∴DE∥BC，BC=2DE，

∵DE∥BC，CF∥AB，

∴四邊形BCFE是平行四邊形；

（2）當∠ABC=90°時，四邊形AECF是菱形，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABC=90°，

∴AC⊥EF，

∵點E是AB中點，

∴AE=BE，

∵四邊形BCFE是平行四邊形，

∴CF∥AB，CF=BE，

∴CF=AE，

∴四邊形CFAE是平行四邊形，且AC⊥EF，

∴四邊形AECF是菱形.