Question

9．△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，P為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，AE⊥DP于E，交直線BD于F．
（1）如圖：若$\frac{AP}{BP}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{BF}{FD}$的值；
（2）如圖2，若$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{3}$，求$\frac{BF}{FD}$的值．

Answer 1

分析 （1）過(guò)F作FG⊥AB于G，得到△BGF是等腰直角三角形，求得BG=GF，通過(guò)△APE∽△APD∽△ADE，得到$\frac{PE}{AE}=\frac{AP}{AD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)PE=x，AE=3x，推出$\frac{FG}{AG}=\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)BG=FG=m，AG=3m，得到AB=4m，根據(jù)勾股定理得到BD=4$\sqrt{2}$m，BF=$\sqrt{2}$m，于是得到結(jié)論；
（2）過(guò)F作FG⊥AB于G，推出△BGF是等腰直角三角形，得到BG=GF，根據(jù)已知條件得到$\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{3}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{PE}{AE}=\frac{AP}{AD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)PE=x，AE=3x求得$\frac{FG}{AG}=\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，設(shè)BG=FG=m，AG=3m，得到AB=2m，根據(jù)勾股定理得到BD=2$\sqrt{2}$m，BF=$\sqrt{2}$m，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過(guò)F作FG⊥AB于G，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠B=45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG=GF，
∵$\frac{AP}{BP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∵AE⊥DP于E，
∴∠ADP=∠PAE，
∴△APE∽△APD∽△ADE，
∴$\frac{PE}{AE}=\frac{AP}{AD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)PE=x，AE=3x，
∴DE=9x，
∴AD=3$\sqrt{10}$x，AP=$\sqrt{10}$x，
∴AB=AD=3$\sqrt{10}$x，
∵△AEP∽△AGF，
∴$\frac{FG}{AG}=\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)BG=FG=m，AG=3m，
∴AB=4m，
∴BD=4$\sqrt{2}$m，BF=$\sqrt{2}$m，
∴DF=3$\sqrt{2}$m，
∴$\frac{BF}{FD}$=$\frac{1}{3}$．

（2）過(guò)F作FG⊥AB于G，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABD=45°，
∴∠GBF=∠ABD=45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG=GF，
∵$\frac{AP}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AP}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∵AE⊥DP于E，
∴∠ADP=∠PAE，
∴△APE∽△APD∽△ADE，
∴$\frac{PE}{AE}=\frac{AP}{AD}=\frac{AE}{DE}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)PE=x，AE=3x，
∴DE=9x，
∴AD=3$\sqrt{10}$x，AP=$\sqrt{10}$x，
∴AB=AD=3$\sqrt{10}$x，
∵△AEP∽△AGF，
∴$\frac{FG}{AG}=\frac{PE}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
設(shè)BG=FG=m，AG=3m，
∴AB=2m，
∴BD=2$\sqrt{2}$m，BF=$\sqrt{2}$m，
∴DF=3$\sqrt{2}$m，
∴$\frac{BF}{FD}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．