Question

19．如圖，菱形ABCD中，∠B=120°，AB=2，將圖中的菱形ABCD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得菱形AB′C′D′，若∠BAD′=110°，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C經(jīng)過的路線長(zhǎng)為$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}π$．

Answer 1

分析 連接AC、AC′，作BM⊥AC于M，由菱形的性質(zhì)得出∠BAC=∠D′AC′=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BM=$\frac{1}{2}$AB=1，由勾股定理求出AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，得出AC=2AM=2$\sqrt{3}$，求出∠CAC′=50°，再由弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)果．

解答 解：連接AC、AC′，作BM⊥AC于M，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∠B=120°，
∴∠BAC=∠D′AC′=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，
∴AC=2AM=2$\sqrt{3}$，
∵∠BAD′=110°，
∴∠CAC′=110°-30°-30°=50°，
∴點(diǎn)C經(jīng)過的路線長(zhǎng)=$\frac{50π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$π；
故答案為：$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、弧長(zhǎng)公式；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求出AC的長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．