Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點D，E分別在邊AC，BC上，CD＝CE，連接AE，點F，H，G分別為DE，AE，AB的中點連接FH，HG

（1）觀察猜想圖1中，線段FH與GH的數(shù)量關系是　 　，位置關系是　 　

（2）探究證明：把△CDE繞點C順時針方向旋轉到圖2的位置，連接AD，AE，BE判斷△FHG的形狀，并說明理由

（3）拓展延伸：把△CDE繞點C在平面內自由旋轉，若CD＝4，AC＝8，請直接寫出△FHG面積的最大值

Answer 1

【答案】（1）FH＝GH，FH⊥HG；（2）△FGP是等腰直角三角形，理由見解析；（3）18

【解析】

（1）直接利用三角形的中位線定理得出FH＝GH，再借助三角形的外角的性質即可得出∠FHG＝90°，即可得出結論；

（2）由題意可證△CAD≌△CBE，可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，根據(jù)三角形中位線定理，可證HG＝HF，HF∥AD，HG∥BE，根據(jù)角的數(shù)量關系可求∠GHF＝90°，即可證△FGH是等腰直角三角形；

（3）由題意可得S△HGF最大＝HG2，HG最大時，△FGH面積最大，點D在AC的延長線上，即可求出△FGH面積的最大值．

解：（1）∵AC＝BC，CD＝CE，

∴AD＝BE，

∵點F是DE的中點，點H是AE的中點，

∴FH＝AD，

∵點G是AB的中點，點H是AE的中點，

∴GH＝BE，

∴FH＝GH，

∵點F是DE的中點，點H是AE的中點，

∴FH∥AD，

∴∠FHE＝∠CAE

∵點G是AB的中點，點H是AE的中點，

∴GH∥BE，

∴∠AGH＝∠B，

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠BAC＝∠B＝45°，

∵∠EGH＝∠B+∠BAE，

∴∠FHG＝∠FHE+∠EHG＝∠CAE+∠B+∠BAE＝∠B+∠BAC＝90°，

∴FH⊥HG，

故答案為：FH＝GH，FH⊥HG；

（2）△FGP是等腰直角三角形

理由：由旋轉知，∠ACD＝∠BCE，

∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△CAD≌△CBE（SAS），

∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，

由三角形的中位線得，HG＝BE，HF＝AD，

∴HG＝HF，

∴△FGH是等腰三角形，

由三角形的中位線得，HG∥BE，

∴∠AGH＝∠ABE，

由三角形的中位線得，HF∥AD，

∴∠FHE＝∠DAE，

∵∠EHG＝∠BAE+∠AGH＝∠BAE+∠ABE，

∴∠GHF＝∠FHE+∠EHG

＝∠DAE+∠BAE+∠ABE

＝∠BAD+∠ABE

＝∠BAC+∠CAD+∠ABC﹣∠CBE

＝∠CBA+∠CAB，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°，

∴∠GHF＝90°，

∴△FGH是等腰直角三角形；

（3）由（2）知，△FGH是等腰直角三角形，HG＝HF＝AD，

∵S△HGF＝HG2，

∴HG最大時，△FGH面積最大，

∴點D在AC的延長線上，

∵CD＝4，AC＝8

∴AD＝AC+CD＝12，

∴HG＝×12＝6．

∴S△PGF最大＝HG2＝18．