如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=
3
4
x+3的圖象分別與x、y軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在一次函數(shù)y=
3
4
x+3的圖象上,且AB=BC,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、C.
(1)求二次函數(shù)y=x2+bx+c的解析式;
(2)點(diǎn)M為位于BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),△BCM的面積最大?
(3)直線BC上是否存在異于B、C的一點(diǎn)P,作PQ∥y軸交與二次函數(shù)于點(diǎn)Q,使PQ=BP?如果存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題
專題:壓軸題
分析:(1)利用直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),再求出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;
(2)過點(diǎn)M作MN∥y軸與BC相交于點(diǎn)N,表示出MN,再根據(jù)S△BCM=S△BMN+S△CMN列式整理,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答;
(3)利用勾股定理列式求出AB,根據(jù)拋物線與直線解析式表示出PQ,再利用銳角的正弦表示出BP,然后列出方程求解即可.
解答:解:(1)令y=0,則
3
4
x+3=0,解得x=-4,
令x=0,則y=3,
所以,點(diǎn)A(-4,0),B(0,3),
∵AB=BC,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,6),
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c得
c=3
16+4b+c=0
,
解得
b=-
13
4
c=3

所以,二次函數(shù)解析式為y=x2-
13
4
x+3;

(2)如圖,過點(diǎn)M作MN∥y軸與BC相交于點(diǎn)N,
則MN=(
3
4
x+3)-(x2-
13
4
x+3)=-x2+4x,
所以,S△BCM=S△BMN+S△CMN,
=
1
2
(-x2+4x)×4=,
=-2(x-2)2+8,
∴當(dāng)x=2時(shí),△BCM的面積最大為8,
此時(shí),x2-
13
4
x+3=22-
13
4
×2+3=
1
2

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,
1
2
);

(3)由勾股定理得,AB=
OA2+OB2
=
42+32
=5,
PQ=|x2-
13
4
x+3-(
3
4
x+3)|=|x2-4x|,
BP=|x|÷
4
5
=
5
4
|x|,
∵PQ=BP,
∴|x2-4x|=
5
4
|x|,
∴x2-4x=
5
4
x,x2-4x=-
5
4
x,
解得x=
21
4
或x=
11
4
,
當(dāng)x=
21
4
時(shí),y=
3
4
×
21
4
+3=
111
16

當(dāng)x=
11
4
時(shí),y=
3
4
×
11
4
+3=
81
16

所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(
21
4
,
111
16
)或(
11
4
81
16
).
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,勾股定理,二次函數(shù)的最值問題,銳角三角函數(shù),難點(diǎn)在于(2)把△BCM分成兩個(gè)三角形,(3)表示出PQ、BP的長(zhǎng)度,然后列出方程.
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對(duì)于銳角A,sinA的值不可能為(  )
A、
3
2
B、
1
3
C、
3
3
D、1

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x
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m
x
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