【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),∠EDF兩邊分別交線段AB于點(diǎn)E,交線段AC于點(diǎn)F,且∠EDF+∠BAC=180°
(1)如圖1,當(dāng)∠EDF=90°時(shí),求證:BE=AF;
(2)如圖2,當(dāng)∠EDF=60°時(shí),求證:AE+AF=AD;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接EF并延長(zhǎng)EF至點(diǎn)G,使FG=EF,連接CG,若BE=5,CF=4,求CG的長(zhǎng)度.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)CG=.
【解析】
1)由等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC,AD=BC=BD=CD,∠B=∠C=45°,∠DAF=∠BAC=45°,求出∠B=∠DAF,∠BDE=∠ADF,由ASA證明△BDE≌△ADF,即可得出結(jié)論;
(2)取AB的中點(diǎn)M,連接DM,由直角三角形的性質(zhì)得出DM=AB=BM=AM,證出△ADM是等邊三角形,得出AM=DM=AD,∠AMD=∠ADM=60°,證明△DEM≌△DFA,得出MD=AF,即可得出結(jié)論;
(3)作EH⊥BC于H,FM⊥BC于M,GN⊥BC于N,則EH∥FM∥GN,由(2)得:AE+AF=AD,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB=30°,AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°,由直角三角形的性質(zhì)得出AD=AB,BD=CD=AD,EH=BE=,FM=CF=2,BH=EH=,CM=FM=2,求出AB=6,得出AD=3,BD=CD=3,∴DH=BDBH=,DM=CDCM=,求出HM=DH+DM=,證出FM是梯形EHNG的中位線,HM=MN,得出2FM=EH+GN,MN=,CN=CDDMMN=,求出GN=,在Rt△CGN中,由勾股定理即可求出CG的長(zhǎng).
(1)證明:連接AD,如圖1所示:
∵∠EDF+∠BAC=180°,∠EDF=90°,
∴∠BAC=90°,
∵AB=AC,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),
∴AD⊥BC,AD=BC=BD=CD,∠B=∠C=45°,∠DAF=∠BAC=45°,
∴∠B=∠DAF,
∵∠EDF=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中,,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF;
(2)證明:取AB的中點(diǎn)M,連接DM,如圖2所示:
∵AD⊥BC,M是AB的中點(diǎn),
∴DM=AB=BM=AM,
∵∠EDF+∠BAC=180°,∠EDF=60°,
∴∠BAC=120°,
∵AB=AC,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°,
∴△ADM是等邊三角形,
∴AM=DM=AD,∠AMD=∠ADM=60°,
∴∠MDE=∠ADF,
在△DEM和△DFA中,,
∴△DEM≌△DFA(ASA),
∴MD=AF,
∵AE+ME=AM=AD,
∴AE+AF=AD;
(3)解:作EH⊥BC于H,FM⊥BC于M,GN⊥BC于N,如圖3所示:
則EH∥FM∥GN,
由(2)得:AE+AF=AD,
∵BE=5,CF=4,AB+AC=BE+AE+AF+CF=BE+AD+CF=5+AD+4=9+AD,
∵∠BAC=120°,AB=AC,點(diǎn)D是BC中點(diǎn),
∴∠B=∠ACB=30°,AD⊥BC,∠ADB=∠ADC=90°,
∴AD=AB
∴2AB=9+AB,
解得:AB=6,
∴AD=3,BD=CD=3,
∴DH=BD﹣BH=,DM=CD﹣CM=,
∴HM=DH+DM=,
∵EH∥FM∥GN,EF=FG,
∴FM是梯形EHNG的中位線,HM=MN,
∴2FM=EH+GN,MN=,CN=CD﹣DM﹣MN=3﹣﹣=,2×2=+GN,
∴GN=,
在Rt△CGN中,由勾股定理得:CG==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料
計(jì)算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t,則:
原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣+t2=
在上面的問(wèn)題中,用一個(gè)字母代表式子中的某一部分,能達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的,這種思想方法叫做“換元法”,請(qǐng)用“換元法”解決下列問(wèn)題:
(1)計(jì)算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)
(2)因式分解:(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4
(3)解方程:(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如果一個(gè)四邊形存在一條對(duì)角線,使得這條對(duì)角線是四邊形某兩邊的比例中項(xiàng),則稱這個(gè)四邊形為“閃亮四邊形”,這條對(duì)角線稱為“亮線”.如圖1,四邊形ABCD中,AB=AC=AD,滿足AC2=ABAD,四邊形ABCD是閃亮四邊形,AC是亮線.
(1)以下說(shuō)法正確的是______(填寫(xiě)序號(hào))
①正方形不可能是閃亮四邊形;
②矩形中存在閃亮四邊形;
③若一個(gè)菱形是閃亮四邊形,則必有一個(gè)內(nèi)角是60°.
(2)如圖2,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=9,AB=12,CD=20,判斷哪一條線段是四邊形ABCD的亮線?請(qǐng)你作出判斷并說(shuō)明理由.
(3)如圖3,AC是閃亮四邊形ABCD的唯一亮線,∠ABC=90°,∠D=60°,AB=4,BC=2,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,2分別是某款籃球架的實(shí)物圖與示意圖,已知AB⊥BC于點(diǎn)B,底座BC的長(zhǎng)為1米,底座BC與支架AC所成的角∠ACB=60°,點(diǎn)H在支架AF上,籃板底部支架EH∥BC,EF⊥EH于點(diǎn)E,已知AH長(zhǎng)米,HF長(zhǎng)米,HE長(zhǎng)1米.
(1)求籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE的度數(shù).
(2)求籃板底部點(diǎn)E到地面的距離.(結(jié)果保留根號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的半圓分別交AC、BC于點(diǎn)D、E兩點(diǎn),BF與⊙O相切于點(diǎn)B,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:D是AC的中點(diǎn);
(2)若AB=12,sin∠CAE=,求CF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】共享單車為人們的生活帶來(lái)了極大的便利.如圖,一輛單車放在水平的地面上,車把頭下方A處與坐墊下方B處在平行于地面的水平線上,A,B之間的距離為49cm,現(xiàn)測(cè)得AC,BC與AB的夾角分別為45°,68°.若點(diǎn)C到地面的距離CD為28cm,坐墊中軸E處與點(diǎn)B的距離BE為5cm,求點(diǎn)E到地面的距離.(結(jié)果保留一位小數(shù),參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.50.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A是x軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)C在y軸上,以AC為對(duì)角線畫(huà)正方形ABCD,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是C(0,4),設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(n,0),連接OD,當(dāng)OD=時(shí),n=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】問(wèn)題:(1)如圖①,在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為 ;
探索:(2)如圖②,在Rt△ABC與Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
應(yīng)用:(3)如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正方形和正六邊形 邊長(zhǎng)均為1,如圖所示,把正方形放置在正六邊形外,使邊與邊重合,按下列步驟操作:將正方形在正六邊形外繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使邊與邊重合,完成第一次旋轉(zhuǎn)再繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使邊與邊重合,完成第二次旋轉(zhuǎn);此時(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)為_________:若按此方式旋轉(zhuǎn),共完成六次,在這個(gè)過(guò)程中,點(diǎn)之間距離的最大值是____.
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