Question

【題目】閱讀下列材料

計算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，則：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝

在上面的問題中，用一個字母代表式子中的某一部分，能達到簡化計算的目的，這種思想方法叫做“換元法”，請用“換元法”解決下列問題：

（1）計算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）

（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4

（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3

Answer 1

【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2

【解析】

（1）仿照材料內容，令+＝t代入原式計算．

（2）觀察式子找相同部分進行換元，令a2﹣5a＝t代入原式進行因式分解，最后要記得把t換為a．

（3）觀察式子找相同部分進行換元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到關于t的一元二次方程，得到t的兩個解后要代回去求出4個x的解．

（1）令+＝t，則：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝

（2）令a2﹣5a＝t，則：

原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2

（3）令x2+4x＝t，則原方程轉化為：

（t+1）（t+3）＝3

t2+4t+3＝3

t（t+4）＝0

∴t1＝0，t2＝﹣4

當x2+4x＝0時，

x（x+4）＝0

解得：x1＝0，x2＝﹣4

當x2+4x＝﹣4時，

x2+4x+4＝0

（x+2）2＝0

解得：x3＝x4＝﹣2