Question

2．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于點(diǎn)A（1，6），B（3，n）兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積；
（3）點(diǎn)M是直線AB第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，若△MON的面積大于△BOD的面積，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出m的值，再將x=3代入反比例函數(shù)解析式解得n的值，由此得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)P，在y軸上任選一點(diǎn)不同于P點(diǎn)的P′點(diǎn)，由三角形內(nèi)兩邊之和大于第三邊來驗(yàn)證點(diǎn)P就是我們找到的使得PA+PB的值最小的點(diǎn)，由A點(diǎn)的坐標(biāo)找出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求出直線A′B的函數(shù)表達(dá)式，令x=0即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；再結(jié)合三角形的面積公式與點(diǎn)到直線的距離即可求出△PAB的面積；
（3）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由MN⊥x軸，BD⊥y軸，可得出N、D的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式即可得出關(guān)于x的一元二次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（1，6）代入反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$中，
得6=$\frac{m}{1}$，即m=6．
故反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{6}{x}$．
∵點(diǎn)B（3，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$上，
∴n=$\frac{6}{3}$=2．
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2）．
將點(diǎn)A（1，6）、點(diǎn)B（3，2）代入y=kx+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{6=k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$．
故一次函數(shù)的解析式為y=-2x+8．
（2）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)P，如圖1所示．

在y軸上任取一點(diǎn)P′（不同于點(diǎn)P），
∵A、A′關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴AP=A′P，AP′=A′P′，
在△P′A′B中，有A′P′+BP′=AP′+BP′＞A′B=A′P+BP=AP+BP，
∴當(dāng)A′、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB最小．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，6），
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-1，6）．
設(shè)直線A′B的解析式為y=ax+b，
將點(diǎn)A′（-1，6）、點(diǎn)B（3，2）代入到y(tǒng)=ax+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{6=-a+b}\\{2=3a+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴直線A′B的解析式為y=-x+5，
令x=0，則有y=5．
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）．
直線AB解析式為y=-2x+8，即2x+y-8=0．
AB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（2-6）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，點(diǎn)P到直線AB的距離d=$\frac{|5-8|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$AB•D=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{5}$×2$\sqrt{5}$=3．
（3）依照題意作出圖形，如圖2所示．

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，-2x+8），則N點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0）．
∵點(diǎn)B為（3，2），
∴點(diǎn)D為（0，2）．
∴OD=2，BD=3，ON=x，MN=8-2x．
∵△MON的面積大于△BOD的面積，
∴$\frac{1}{2}$ON•MN＞$\frac{1}{2}$OD•BD，即x（8-2x）＞2×3，
解得：1＜x＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次不等式、點(diǎn)到直線的距離以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）算出B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）找到P點(diǎn)的位置；（3）得出關(guān)于x的一元二次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上求出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．