Question

【題目】某市為解決農(nóng)村燃?xì)饫щy，在P處建立了一個(gè)燃?xì)庹�，�?/span>P站分別向A、B、C村鋪設(shè)燃?xì)夤艿�。已�?/span>B村在A村的北偏東60°方向，距離A村2.4km，C村在A村的正東方向，距離A村1.8km,要使此工程費(fèi)用最省，管道PA+PB+PC之和需最短，則最短長(zhǎng)度為______________km.

Answer 1

【答案】3

【解析】

先證明△ABC內(nèi)總存在一點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)的連線的夾角相等，此時(shí)該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最�。�然后根據(jù)這個(gè)原理找到點(diǎn)P，把△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADE，證得△ABE是直角三角形，用勾股定理求出BE，即可得出PA+PB+PC之和的最短值。

解：先證明結(jié)論：△ABC內(nèi)總存在一點(diǎn)P與三個(gè)頂點(diǎn)的連線的夾角相等，此時(shí)該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最�。�

如圖1， P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB=∠BPC=120°，

證明：如圖2，將△ACP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，

∴∠PAD=60°，△PAC≌△DAE，
∴PA=DA、PC=DE、∠APC=∠ADE=120°，
∴△APD為等邊三角形，
∴PA=PD，∠APD=∠ADP=60°，
∴∠APB+∠APD=120°+60°=180°，∠ADP+∠ADE=180°，即B、P、D、E四點(diǎn)共線，
∴PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE．

∴PA+PB+PC的值最小．

解決問(wèn)題：

如圖3，將三個(gè)村連接為△ABC，由上可知，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，AP+BP+PC的值最小.

把△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ADE，

∴∠PAD=60°，AE=AC=2.4 km
由上可知B、P、D、E共線，且AP+BP+PC=BE，∠PAB=∠DAE，

∵B村在A村的北偏東60°方向， C村在A村的正東方向，

∴∠BAC=30°，
∴∠PAB+∠PAC=∠DAE+∠PAB=30°，
∴∠BAE=∠DAE+∠PAB+∠PAD=90°，

在Rt△ABE中，

∴PA+PB+PC=3km

故答案為：3