Question

如圖，拋物線y=ax²+bx經過點A（-4，0）、B（-2，2），連接OB、AB，
（1）求該拋物線的解析式．
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形．
（3）將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉135°，得到△OA′B′，寫出A′B′的中點P的坐標，試判斷點P是否在此拋物線上．
（4）在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形ABOM成直角梯形？若存在，請求出點M坐標及該直角梯形的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-4，0）、B（-2，2）代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx，列方程組求a、b的值即可；
（2）根據所求拋物線解析式求拋物線的頂點坐標，判斷三角形的形狀；
（3）根據△OAB的形狀，旋轉方向，旋轉角，畫出圖形，可求A′、B′的坐標，根據中點坐標公式求P的坐標，代入拋物線解析式進行判斷；
（4）存在．過點O，作OM∥AB交拋物線于點M，根據△OAB為等腰直角三角形，可求直線OM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，可求M點坐標，同理，過點A，作AM′∥OB交拋物線于點M′，聯(lián)立方程組可求M′的坐標，由圖形的特殊性可知，兩種情況下，梯形面積相等，根據梯形面積公式求解．
解答：（1）解：由A（-4，0）、B（-2，2）在拋物線y=ax²+bx圖象上，
得：（2分）
解之得：a=-，b=-2，
∴該函數解析式為：y=-x²-2x．（4分）

（2）證明：過點B作BC垂直于X軸，垂足是點C．（6分）
∵y=-x²-2x=-（x+2）²+2，
∴線段CO、CA、CB的長度均為2，
∴△ABC和△OBC為全等的等腰直角三角形，
∴AB=OB
且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°
∴△OAB是等腰直角三角形（8分）

（3）解：如圖，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉135°，得到△OA′B′
其中點B′正好落在y軸上且B′A′∥x軸．
又∵OB′和A′B′的長度為2，
A′B′中點P的坐標為（，-2），顯然不滿足拋物線方程，
∴點P不在此拋物線上（10分）

（4）解：存在（11分）
過點O，作OM∥AB交拋物線于點M
易求出直線OM的解析式為：y=x
聯(lián)立拋物線解析式得：
解之得點M（-6，-6），
顯然，點M（-6，-6）關于對稱軸x=-2的對稱點M′（2，-6）也滿足要求，
故滿足條件的點M共有兩個，坐標分別為（-6，-6）和（2，-6）
∴s_ABOM=S_△ABO+s_△AOM=×4×2+×4×6=16．（12分）
（注：此題方法較多，只要合理均可給分）
點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是根據題意求拋物線解析式，根據解析式確定圖形的特殊性．