Question

【題目】如圖，拋物線交軸與點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，下列四個(gè)命題：

①當(dāng)時(shí)，；

②若，則；

③拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則；

④點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)，分別在軸和軸上，當(dāng)時(shí)，四邊形周長的最小值為．

其中真命題的序號是（ ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出y的符號；
②根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸對稱，求出b的值；
③根據(jù)＞1，得到x1＜1＜x2，從而得到Q點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出y1＞y2；
④作D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．求出D、E、D′、E′的坐標(biāo)即可解答．

①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過一四象限，當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞b時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②二次函數(shù)對稱軸為x=-,當(dāng)a=-1時(shí)，有，解得b=3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③∵x1+x2＞2，

∴>1,

又∵x1-1＜0＜x2-1，
∴Q點(diǎn)距離對稱軸較遠(yuǎn)，
∴y1＞y2，故本選項(xiàng)正確；
④如圖，作D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，
連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．
當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=-1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（-1，4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，-3）；
則DE=;D′E′=,

∴四邊形EDFG周長的最小值為+，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C．