【題目】如圖,在直角體系中,直線AB交x軸于點(diǎn)A(5,0),交y軸于點(diǎn)B,AO是⊙M的直徑,其半圓交AB于點(diǎn)C,且AC=3。取BO的中點(diǎn)D,連接CD、MD和OC。
(1)求證:CD是⊙M的切線;
(2)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D、M、A,其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P,連接PD、PM,求△PDM的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,當(dāng)△PDM的周長(zhǎng)最小時(shí),拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。
【答案】解:(1)證明:連接CM,
∵OA 為⊙M直徑,∴∠OCA=90°。∴∠OCB=90°。
∵D為OB中點(diǎn),∴DC=DO。∴∠DCO=∠DOC。
∵MO=MC,∴∠MCO=∠MOC。
∴。
又∵點(diǎn)C在⊙M上,∴DC是⊙M的切線。
(2)∵A點(diǎn)坐標(biāo)(5,0),AC=3
∴在Rt△ACO中,。
∴,∴,解得 。
又∵D為OB中點(diǎn),∴。∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)。
連接AD,設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,則有
解得。
∴直線AD為。
∵二次函數(shù)的圖象過M(,0)、A(5,0),
∴拋物線對(duì)稱軸x=。
∵點(diǎn)M、A關(guān)于直線x=對(duì)稱,設(shè)直線AD與直線x=交于點(diǎn)P,
∴PD+PM為最小。
又∵DM為定長(zhǎng),∴滿足條件的點(diǎn)P為直線AD與直線x=的交點(diǎn)。
當(dāng)x=時(shí),。
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)。
(3)存在。
∵,
又由(2)知D(0,),P(,),
∴由,得,解得yQ=±。
∵二次函數(shù)的圖像過M(0,)、A(5,0),
∴設(shè)二次函數(shù)解析式為,
又∵該圖象過點(diǎn)D(0,),∴,解得a=。
∴二次函數(shù)解析式為。
又∵Q點(diǎn)在拋物線上,且yQ=±。
∴當(dāng)yQ=時(shí),,解得x=或x=;
當(dāng)yQ=時(shí),,解得x=。
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,),或(,),或(,)。
【解析】
試題分析:(1)連接CM,可以得出CM=OM,就有∠MOC=∠MCO,由OA為直徑,就有∠ACO=90°,D為OB的中點(diǎn),就有CD=OD,∠DOC=∠DCO,由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出結(jié)論。
(2)根據(jù)條件可以得出和,從而求出OB的值,根據(jù)D是OB的中點(diǎn)就可以求出D的坐標(biāo),由待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式,求出對(duì)稱軸,根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)連接AD交對(duì)稱軸于P,先求出AD的解析式就可以求出P的坐標(biāo)。
(3)根據(jù),求出Q的縱坐標(biāo),求出二次函數(shù)解析式即可求得橫坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正比例函數(shù)y=(1-m)x的圖象上有兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),且當(dāng)x1>x2時(shí),y1>y2,則m的取值范圍是( )
A. m<0 B. m>0 C. m<1 D. m>1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,P是CD上一點(diǎn),BH⊥AP于H,BH=BC=CD
(1)求證:∠ABP=45°;
(2)若BC=20,PC=12,求AP的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某水果店賣出的香蕉數(shù)量(千克)與售價(jià)(元)之間的關(guān)系如表:
數(shù)量(千克) | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | … |
售價(jià)(元) | 1.5 | 3 | 4.5 | 6 | 7.5 | 9 | 10.5 | … |
上表反映了個(gè)變量之間的關(guān)系,其中,自變量是;因變量是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個(gè)黑色不透明的袋子里裝有除顏色外其余都相同的7個(gè)紅球和3個(gè)白球,那么從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)紅球的可能性和摸出一個(gè)白球的可能性相比( 。
A. 摸出一個(gè)紅球的可能性大 B. 摸出一個(gè)白球的可能性大
C. 兩種可能性一樣大 D. 無法確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,BD、BE分別是高和角平分線,點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上,F(xiàn)H⊥BE,交BD于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H;下列結(jié)論:
①∠DBE=∠F;
②2∠BEF=∠BAF+∠C;
③∠F=∠BAC﹣∠C;
④∠BGH=∠ABE+∠C,
其中正確的結(jié)論有
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有3人攜帶會(huì)議材料乘坐電梯,這3人的體重共210kg.毎梱材料重20kg.電梯最大負(fù)荷為1050kg,則該電梯在此3人乘坐的情況下最多還能搭載___捆材枓.
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