【題目】教材呈現(xiàn):下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容.
猜想
如圖,在△ABC中,點D、E分別是AB與AC的中點,根據(jù)畫出的圖形,可以猜想:
DE∥BC,且DE=BC.
對此,我們可以用演繹推理給出證明
證明在△ABC中,
∵點D、E分別是AB與AC的中點,
∴請根據(jù)教材提示,結(jié)合圖①,寫出完整證明過程,
結(jié)論應(yīng)用:
如圖②在四邊形ABCD中,AD=BC,點P是對角線BD的中點,M是DC中點,N是AB中點,MN與BD相交于點Q.
(1)求證:∠PMN=∠PNM;
(2)若AD=BC=4,∠ADB=90°,∠DBC=30°,則PQ= .
【答案】教材呈現(xiàn):證明見解析;結(jié)論應(yīng)用:(1)證明見解析;(2).
【解析】
教材呈現(xiàn):先判斷出△ADE∽△ABC,即可得出緒論;
結(jié)論應(yīng)用:(1)根據(jù)教材呈現(xiàn)中的續(xù)簽,得出PM=BC,PN=AD,再利用BC=AD,即可得出緒論;
(2)先根據(jù)(1)的結(jié)論判斷出∠MPN=120°,進(jìn)而求得∠PMN=∠PNM=30°,∠EPQ=30°,再利用三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論.
教材呈現(xiàn):
在△ABC中,
∵點D、E分別是AB與AC的中點,
∴,
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∴DE∥BC,,
即:DE∥BC,DE=BC,
結(jié)論應(yīng)用:
(1)證明:∵點P,M分別是BD,DC的中點,
∴PM=BC,
∵點P,N分別是BD,AB的中點,
∴PN=AD,
∵BC=AD,
∴PM=PN,
∴∠PMN=∠PNM;
(2)解:
∵點P,M分別是BD,DC的中點,
∴PM∥BC,
∴∠DPM=∠DBC=30°
∵點P,N分別是BD,AB的中點,
∴PN∥AD,
∴PN=AD=2,∠DPN=180°﹣∠ADB=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=120°,
由(1)知,∠PMN=∠PNM,
∴∠PMN=∠PNM=30°,
過點P作PE⊥MN于E,如圖:
∴∠NPE=90°﹣∠PNM=60°,
∴∠EPQ=∠DPN﹣∠NPE=30°,
在中,∴∠PNE=30°,PN=2,
∴PE=PN=1,
在中,,
故答案為:.
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【題目】如圖,點D在⊙O的直徑AB的延長線上,CD切⊙O于點C,AE⊥CD于點E
(1)求證:AC平分∠DAE;
(2)若AB=6,BD=2,求CE的長.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則在下列各式子:①abc>0;②a+b+c>0;③a+c>b;④2a+b=0;⑤=b2-4ac<0中,成立的式子有( )
A. ②④⑤ B. ②③⑤
C. ①②④ D. ①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是正方形,對角線AC,BD相交于點O.
(1)如圖1,點P是正方形ABCD外一點,連接OP,以OP為一邊,作正方形OPMN,且邊ON與邊BC相交,連接AP,BN.
①依題意補全圖1;
②判斷AP與BN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,寫出結(jié)論并加以證明;
(2)點P在AB延長線上,且∠APO=30°,連接OP,以OP為一邊,作正方形OPMN,且邊ON與BC的延長線恰交于點N,連接CM,若AB=2,求CM的長(不必寫出計算結(jié)果,簡述求CM長的過程)
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【題目】在中,,,以點為圓心、為半徑作圓,設(shè)點為⊙上一點,線段繞著點順時針旋轉(zhuǎn),得到線段,連接、.
(1)在圖中,補全圖形,并證明 .
(2)連接,若與⊙相切,則的度數(shù)為 .
(3)連接,則的最小值為 ;的最大值為 .
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【題目】如圖1,在矩形中,,點從點出發(fā)向點移動,速度為每秒1個單位長度,點從點出發(fā)向點移動,速度為每秒2個單位長度. 兩點同時出發(fā),且其中的任何一點到達(dá)終點后,另一點的移動同時停止.
(1)若兩點的運動時間為,當(dāng)為何值時,?
(2)在(1)的情況下,猜想與的位置關(guān)系并證明你的結(jié)論.
(3)①如圖2,當(dāng)時,其他條件不變,若(2)中的結(jié)論仍成立,則_________.
②當(dāng),時,其他條件不變,若(2)中的結(jié)論仍成立,則_________(用含的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,存在拋物線以及兩點和.
(1)求該拋物線的頂點坐標(biāo);
(2)若該拋物線經(jīng)過點,求此拋物線的表達(dá)式;
(3)若該拋物線與線段只有一個公共點,結(jié)合圖象,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,放置于平面直角坐標(biāo)系中,按下面要求畫圖:
(1)畫出繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的.
(2)求點在旋轉(zhuǎn)過程中的路徑長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用配方法解下列方程,其中應(yīng)在方程左右兩邊同時加上4的是( 。
A. x2﹣2x=5 B. x2+4x=5 C. 2x2﹣4x=5 D. 4x2+4x=5
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