【題目】由特殊到一般、類比、轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到的思想方法.下面是對(duì)一道幾何題進(jìn)行變式探究的思路,請(qǐng)你運(yùn)用上述思想方法完成探究任務(wù).問題情境:在四邊形ABCD中,AC是對(duì)角線,E為邊BC上一點(diǎn),連接AE.以E為旋轉(zhuǎn)中心,將線段AE順時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角與∠B相等,得到線段EF,連接CF.
(1)特例如圖1,若四邊形ABCD是正方形,求證:AC⊥CF;
(2)拓展分析一:如圖2,若四邊形ABCD是菱形,探究下列問題:
①當(dāng)∠B=50°時(shí),求∠ACF的度數(shù);
②針對(duì)圖2的條件,寫出一般的結(jié)論(不必證明);
(3)拓展探究二:如圖3,若四邊形ABCD是矩形,且BC=kAB(k>1).若前提條件不變,特例分析中得到的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,修改題中的條件使結(jié)論成立(不必證明).
【答案】(1)見解析;(2)①50°;②∠ACF=∠B;(3)不成立,當(dāng)EF=kAE時(shí),AC⊥CF.
【解析】
(1)如圖1中,作EH∥AC交AB于H.只要證明△HAE≌△CEF,即可推出∠AHE=∠ECF=135°,由∠BCA=45°,推出∠ACF=90°即可;
(2)①如圖2中,作EH∥AC交AB于H.只要證明△HAE≌△CEF,即可解決問題.②同①中的證明方法可得∠ACF=∠B;
(3)結(jié)論:當(dāng)EF=kAE時(shí),AC⊥CF.如圖3中,作EH∥AC交AB于H,AC與EF交于點(diǎn)O.只要證明△HAE∽△CEF,推出∠HEA=∠F,由∠HEA=∠CAE,推出∠CAE=∠F,由∠AOE=∠FOC,∠EAO+∠AOE=90°,推出∠FOC+∠F=90°,即可得到∠OCF=90°.
(1)證明:如圖1中,作EH∥AC交AB于H.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BAC=∠BCA=45°,
∵EH∥AC,
∴∠BHE=∠BAC=45°,∠BEH=∠BCA=45°,
∴∠BHE=∠BEH=45°,∠AHE=135°,
∴BH=BE,
∴AH=CE,
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF,∠AEF=∠B=90°,
∴∠HAE=∠CEF,
在△HAE和△CEF中,,
∴△HAE≌△CEF(SAS),
∴∠AHE=∠ECF=135°,
∵∠BCA=45°,
∴∠ACF=90°,
∴AC⊥CF;
(2)解:①如圖2中,作EH∥AC交AB于H.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠BAC=∠BCA,
∵EH∥AC,
∴∠BHE=∠BAC,∠BEH=∠BCA,
∴∠BHE=∠BEH,
∴BH=BE,
∴AH=CE,
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF,∠AEF=∠B,
∴∠HAE=∠CEF,
在△HAE和△CEF中,,
∴△HAE≌△CEF(SAS),
∴∠AHE=∠ECF,
∵∠B=50°,
∴∠BHE=∠ACB=65°,
∴∠AHE=∠ECF=115°
∴∠ACF=115°﹣65°=50°;
②結(jié)論:∠ACF=∠B.證明如下:
同①可得△HAE≌△CEF,
∴∠AHE=∠ECF.
∴∠B+∠BEH=∠ACF+∠ACB,
又由①知∠BEH=∠ACB,
∴∠ACF=∠B;
(3)解:不成立,當(dāng)EF=kAE時(shí),AC⊥CF.理由如下:
如圖3中,作EH∥AC交AB于H,AC與EF交于點(diǎn)O.
∵EH∥AC,
∴=
,
∴=
=
,
∵EF=kAE,
∴=
=
,
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF,∠AEF=∠B=90°,
∴∠HAE=∠CEF,
∴△HAE∽△CEF,
∴∠HEA=∠F,
∵∠HEA=∠CAE,
∴∠CAE=∠F,
∵∠AOE=∠FOC,∠EAO+∠AOE=90°,
∴∠FOC+∠F=90°,
∴∠OCF=90°,
∴AC⊥CF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,得到某種運(yùn)動(dòng)服每月的銷量是售價(jià)的一次函數(shù),且相關(guān)信息如下表:
售價(jià)(元/件) | 100 | 110 | 120 | 130 | … |
月銷量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知該運(yùn)動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為每件60元,設(shè)售價(jià)為x元.
(1)請(qǐng)用含x的式子表示:①銷售該運(yùn)動(dòng)服每件的利潤(rùn)是( )元;
(2)求月銷量y與售價(jià)x的一次函數(shù)關(guān)系式:
(3)設(shè)銷售該運(yùn)動(dòng)服的月利潤(rùn)為W元,那么售價(jià)為多少元時(shí),當(dāng)月的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,的兩直角邊
,
分別在
軸的負(fù)半軸和
軸的正半軸上,
為坐標(biāo)原點(diǎn),
,
兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
、
,拋物線
經(jīng)過點(diǎn)
,且頂點(diǎn)在直線
上.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若是由
沿
軸向右平移得到的,當(dāng)四邊形
是菱形時(shí),試判斷點(diǎn)
和點(diǎn)
是否在該拋物線上,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)是
所在直線下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)
作
平行于
軸交
于
.設(shè)點(diǎn)
的橫坐標(biāo)為
,
的長(zhǎng)度為
.求
與
之間的函數(shù)關(guān)系式,寫出自變量
的取值范圍,并求
取最大值時(shí),點(diǎn)
的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線交
軸于
,
兩點(diǎn)(點(diǎn)
在點(diǎn)
的左邊),交
軸正半軸于點(diǎn)
.
(1)如圖1,當(dāng)時(shí).
①直接寫出點(diǎn),
,
的坐標(biāo);
②若拋物線上有一點(diǎn),使
,求點(diǎn)
的坐標(biāo).
(2)如圖2,平移直線交拋物線于
,
兩點(diǎn),直線
與直線
交于點(diǎn)
,若點(diǎn)
在定直線
上運(yùn)動(dòng),求
的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn) C 為 Rt△ACB 與 Rt△DCE 的公共點(diǎn),∠ACB=∠DCE=90°,連 接 AD、BE,過點(diǎn) C 作 CF⊥AD 于點(diǎn) F,延長(zhǎng) FC 交 BE 于點(diǎn) G.若 AC=BC=25,CE=15, DC=20,則的值為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為
的直徑,
切
于點(diǎn)
,連結(jié)
交
于點(diǎn)
,
是
上一點(diǎn),且與點(diǎn)
在
異側(cè),連結(jié)
(1)求證:;
(2)若,
,則
的長(zhǎng)為(結(jié)果保留
)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具,進(jìn)價(jià)為20元,試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn):當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí),每天的銷售量為250件,銷售單價(jià)每上漲1元,每天的銷售量就減少10件.
(1)寫出商場(chǎng)銷售這種文具,每天所得的銷售利潤(rùn)(元)與銷售單價(jià)
(元)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求銷售單價(jià)為多少元時(shí),該文具每天的銷售利潤(rùn)最大;最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,,BE是AC邊上的中線,點(diǎn)D在射線BC上.
(1)如圖1,點(diǎn)D在BC邊上,,AD與BE相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作
,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易得
的值為 ;
(2)如圖2,在△ABC中,,點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上,AD與AC邊上的中線BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,
,求
的值;
(3)在(2)的條件下,若CD=2,AC=6,則BP= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,,AC=4,BC=3,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn). 以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作
,射線DM、DN分別交邊AC、CB于點(diǎn)E、F.
特例
(1)如圖1,若,不添加輔助線,圖1中所有與△ABC相似的三角形為 ,
;
操作探究:
(2)將(1)中的從圖1 的位置開始繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到
.如圖2,當(dāng)射線
分別交邊
于點(diǎn)
時(shí),求
的值;
拓展延伸:
(3)如圖3,中,
,AC=m,BC=n,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作
,射線
分別交邊
的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
,則
的值為_______________.(用含
的代數(shù)式表示,直接回答即可)
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