Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD平分△ABC的外角∠BCM，交⊙O于點D，連接AD，BD．
（1）求證：AD=BD；
（2）連接DO，并延長交BC于點E
①求證：∠ADO=∠BDO；
②若AB=6，AD=3

10

，C為

AD

的中點，求OE的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由CD平分△ABC的外角∠BCM得到∠MCD=∠DCB，再根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，則∠DAB=∠DBA，于是可得到結(jié)論；
（2）①直接根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②延長DO交AB于F，連結(jié)OC交AD于P，作EH⊥AD于H，根據(jù)等腰三角形外心的性質(zhì)得到DF垂直平分AB，則AF=AB=3，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理求出DF的長，由C為

AD

的中點，可知OC是線段AD的垂直平分線，故可得出DP的長，根據(jù)△DOP∽△DAF，可知

OD

AD

=

DP

DF

，故可得出OD、OF的長，根據(jù)點E為△ABC的內(nèi)心，可知EH=EF，在Rt△DPO中，根據(jù)勾股定理求出OP的長，再由OP∥EH可知△DOP∽△DEH，根據(jù)

OD

DE

=

OP

EH

即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵CD平分△ABC的外角∠BCM，
∴∠MCD=∠DCB，
∵∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD；

（2）①證明：∵DA=DB，
∴DF垂直平分AB，
∴∠ADO=∠BDO；

②解：延長DO交AB于F，連結(jié)OA、OC交AD于P，作EH⊥AD于H，如圖，
∵DA=DB，
∴DF垂直平分AB，
∴AF=

1

2

AB=3，
在Rt△ADF中，
∵AD=3

10

，AF=3，
∴DF=

AD2-AF2

=

(3 10 )2-32

=9，
∵C為

AD

的中點，
∴OC是線段AD的垂直平分線，
∴DP=

AD

2

=

3 10

2

，
∴△DOP∽△DAF，
∴

OD

AD

=

DP

DF

，即

OD

3 10

=

3 10 2

9

，解得OD=5，
∴OA=OD=5，
∴OF=DF-OD=9-5=4，
∵C為弧AD的中點，
∴∠ABC=∠DBC，
∴點E為△ABC的內(nèi)心，
∴AE平分∠DAB，
∴EH=EF，
在Rt△DPO中，OP=

OD2-DP2

=

52-( 3 10 2 )2

=

10

2

，
∵OP∥EH，
∴△DOP∽△DEH，
∴

OD

DE

=

OP

EH

，即

5

5+OE

=

10 2

4-OE

，
∴OE=5-

10

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到圓周角定理、勾股定理、垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角的度數(shù)等于它所對的圓心角度數(shù)的一半是解答此題的關(guān)鍵．