Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（x1，y1）、C（x2，y2），其中x1、x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的兩根，且x1＜x2，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)

（1）求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求直線l的解析式；

（3）如圖2，點(diǎn)B是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線BE與直線l相交于點(diǎn)E，與拋物線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)E作DC的平行線EF與直線AC相交于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，2），C（4，8） （2）y＝﹣2x﹣2 （3）

【解析】

（1）解一元二次方程即可得出點(diǎn)A，C坐標(biāo)；

（2）先設(shè)出直線l的解析式，再聯(lián)立拋物線解析式，用△＝0，求出k的值，即可得出直線l的解析式；

（3）設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出BC，再表示出點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而得出BD，BE，再判斷出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF．

（1）∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣8＝0的兩根，且x1＜x2，

∴x1＝﹣2，x2＝4，

∴A（﹣2，2），C（4，8）；

（2）①設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b（k≠0），

∵A（﹣2，2）在直線l上，

∴2＝﹣2k+b，

∴b＝2k+2，

∴直線l的解析式為y＝kx+2k+2①，

∵拋物線y＝x2②，

聯(lián)立①②化簡(jiǎn)得，x2﹣2kx﹣4k﹣4＝0，

∵直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴△＝（2k）2﹣4（﹣4k﹣4）＝4k2+16k+16＝4（k2+4k+4）＝4（k+2）2＝0，

∴k＝﹣2，

∴b＝2k+2＝﹣2，

∴直線l的解析式為y＝﹣2x﹣2；

②平行于y軸的直線和拋物線y＝x2只有一個(gè)交點(diǎn)，

∵直線l過(guò)點(diǎn)A（﹣2，2），

∴直線l：x＝﹣2；

（3）由（1）知，A（﹣2，2），C（4，8），

∴直線AC的解析式為y＝x+4，

設(shè)點(diǎn)B（m，m+4），

∵（4.8），

∴BC＝|m﹣4|＝（4﹣m）

∵過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線BE與直線l相交于點(diǎn)E，與拋物線相交于點(diǎn)D，

∴D（m，m2），E（m，﹣2m﹣2），

∴BD＝m+4﹣m2，BE＝m+4﹣（﹣2m﹣2）＝3m+6，

∵DC∥EF，

∴△BDC∽△BEF，

∴ ，

∴ ，

∴BF＝6．