【題目】已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)BC重合).以AD為邊做正方形ADEF,連接CF

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí).求證CF+CD=BC;

2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),其他條件不變,請(qǐng)直接寫出CF,BC,CD三條線段之間的關(guān)系;

3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí),且點(diǎn)A,F分別在直線BC的兩側(cè),其他條件不變;

①請(qǐng)直接寫出CF,BC,CD三條線段之間的關(guān)系;

②若正方形ADEF的邊長(zhǎng)為,對(duì)角線AE,DF相交于點(diǎn)O,連接OC.求OC的長(zhǎng)度.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2CFCD=BC;(3)①CDCF=BC;②2

【解析】

1)三角形ABC是等腰直角三角形,利用SAS即可證明△BAD≌△CAF,從而證得CF=BD,據(jù)此即可證得.

2)同(1)相同,利用SAS即可證得△BAD≌△CAF,從而證得BD=CF,即可得到CFCD=BC

3)①同(1)相同,利用SAS即可證得△BAD≌△CAF,從而證得BD=CF,即可得到CDCB=CF

②證明△BAD≌△CAF,△FCD是直角三角形,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得DF的長(zhǎng),則OC即可求得.

解:(1)∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=ABC=45°.∴AB=AC

∵四邊形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°

∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,∴∠BAD=CAF

∵在△BAD和△CAF中,AB=AC,∠BAD=CAF,AD=AF

∴△BAD≌△CAFSAS).∴BD=CF

BD+CD=BC,∴CF+CD=BC

2CF-CD=BC;
理由:∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,
∴∠ACB=ABC=45°,
AB=AC
∵四邊形ADEF是正方形,
AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°-DAC,∠CAF=90°-DAC
∴∠BAD=CAF,
∵在△BAD和△CAF中,
∴△BAD≌△CAFSAS
BD=CF
BC+CD=CF,
CF-CD=BC;
3)①∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,
∴∠ACB=ABC=45°,
AB=AC
∵四邊形ADEF是正方形,
AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=90°-BAF,∠CAF=90°-BAF,
∴∠BAD=CAF,
∵在△BAD和△CAF中,,
∴△BAD≌△CAFSAS),
BD=CF,
CD-BC=CF

②∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=ABC=45°.∴AB=AC

∵四邊形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°

∵∠BAD=90°﹣∠BAF,∠CAF=90°﹣∠BAF,∴∠BAD=CAF

∵在△BAD和△CAF中,AB=AC,∠BAD=CAF,AD=AF,

∴△BAD≌△CAFSAS).∴∠ACF=ABD

∵∠ABC=45°,∴∠ABD=135°.∴∠ACF=ABD=135°.∴∠FCD=90°

∴△FCD是直角三角形.

∵正方形ADEF的邊長(zhǎng)為且對(duì)角線AE、DF相交于點(diǎn)O

DF=AD=4,ODF中點(diǎn).

OC=DF=2

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分?jǐn)?shù)段

頻數(shù)

頻率

50.560.5

16

0.08

60.570.5

40

0.2

70.580.5

50

0.25

80.590.5

m

0.35

90.5100.5

24

n

1)這次抽取了______名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其中m=______,n=______

2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

3)若成績(jī)?cè)?/span>70分以下(含70分)的學(xué)生為安全意識(shí)不強(qiáng),有待進(jìn)一步加強(qiáng)安全教育,則該校安全意識(shí)不強(qiáng)的學(xué)生約有多少人?

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