Question

如圖，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=相交于點(diǎn)A，B．已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-2），點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且tan∠AOx=4．過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計(jì)算△ABC的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD的面積等于△ABC的面積？若存在，請(qǐng)你寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知條件可以推出A點(diǎn)的坐標(biāo)，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式和雙曲線解析式，即可得出a、b、k的值，就可以確定雙曲線和拋物線的解析式了；
（2）根據(jù)A、B拋物線解析式，可以確定C點(diǎn)的坐標(biāo)，即可去頂AC和AC邊上的高的長(zhǎng)度，就可以計(jì)算出△ABC的面積了；
（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)出去直線AB相應(yīng)的一次函數(shù)結(jié)合C點(diǎn)的坐標(biāo)，CD∥AB，得出直線CD相應(yīng)的一次函數(shù)，然后結(jié)合D點(diǎn)也在拋物線上，解方程組，求D點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）把點(diǎn)B（-2，-2）的坐標(biāo)，代入y=，
得：-2=，
∴k=4．
即雙曲線的解析式為：y=．
設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）．
∵A點(diǎn)在雙曲線上，
∴mn=4．①
又∵tan∠AOx=4，
∴=4，即n=4m．②
由①②，得：m²=1，
∴m=±1．
∵A點(diǎn)在第一象限，
∴m=1，n=4，
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）
把A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax²+bx，得：，
解得a=1，b=3．
∴拋物線的解析式為：y=x²+3x；

（2）∵AC∥x軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y=4，
代入y=x²+3x，得方程x²+3x-4=0，
解得x₁=-4，x₂=1（舍去）．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，4），且AC=5，
又∵△ABC的高為6，
∴△ABC的面積=×5×6=15；

（3）存在D點(diǎn)使△ABD的面積等于△ABC的面積．
過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交拋物線于另一點(diǎn)D．
∵△ABD與△ABC同底等高，
∴△ABD的面積等于△ABC的面積，
因?yàn)橹本�AB相應(yīng)的一次函數(shù)是：y=2x+2，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，4），CD∥AB，
所以直線CD相應(yīng)的一次函數(shù)是：y=2x+12．
解方程組，
∴x²+3x=2x+12，
即x=3或x=-4，
當(dāng)x=3時(shí)，y=18，
當(dāng)x=-4時(shí)，y=4，
∴或（不合題意，舍去），
所以點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，18）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求拋物線解析式、雙曲線解析式以及三角形的面積求法．關(guān)鍵在于根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)求拋物線解析式，雙曲線解析式和直線解析式．