【題目】已知:如圖(1),射線AM∥射線BN,AB是它們的公垂線,點(diǎn)D、C分別在AM、BN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合、點(diǎn)C與點(diǎn)B不重合),E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與A、B不重合),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持DE⊥EC.
(1)求證:△ADE∽△BEC;
(2)如圖(2),當(dāng)點(diǎn)E為AB邊的中點(diǎn)時(shí),求證:AD+BC=CD;
(3)當(dāng) AD+DE=AB=時(shí).設(shè)AE=m,請(qǐng)?zhí)骄浚骸?/span>BEC的周長(zhǎng)是否與m值有關(guān)?若有關(guān),請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示△BEC的周長(zhǎng);若無(wú)關(guān),請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析;(3)的周長(zhǎng)與m值無(wú)關(guān),理由詳見(jiàn)解析.
【解析】
(1)由直角梯形ABCD中∠A為直角,得到三角形ADE為直角三角形,可得出兩銳角互余,再由DE與EC垂直,利用垂直的定義得到∠DEC為直角,利用平角的定義推出一對(duì)角互余,利用同角的余角相等可得出一對(duì)角相等,再由一對(duì)直角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得證;
(2)延長(zhǎng)DE、CB交于F,證明△ADE≌△BFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=FE,AD=BF由CE⊥DE,得到直線CE是線段DF的垂直平分線,由線段垂直平分線的性質(zhì)得DC=FC.即可得到結(jié)論;
(3)△BEC的周長(zhǎng)與m的值無(wú)關(guān),理由為:設(shè)AD=x,由AD+DE=a,表示出DE.在直角三角形ADE中,利用勾股定理列出關(guān)系式,整理后記作①,由AB﹣AE=EB,表示出BE,根據(jù)(1)得到:△ADE∽△BEC,由相似得比例,將各自表示出的式子代入,表示出BC與EC,由EB+EC+BC表示出三角形EBC的周長(zhǎng),提取a﹣m后,通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算,再利用平方差公式化簡(jiǎn)后,記作②,將①代入②,約分后得到一個(gè)不含m的式子,即周長(zhǎng)與m無(wú)關(guān).
(1)∵直角梯形ABCD中,∠A=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°,
又∵DE⊥CE,
∴∠DEC=90°,
∴∠AED+∠BEC=90°,
∴∠ADE=∠BEC,
又∵∠A=∠B=90°,
∴△ADE∽△BEC;
(2)延長(zhǎng)DE、CB交于F,如圖2所示.
∵AD∥BC,
∴∠A=∠EBF,∠ADE=∠F.
∵E是AB的中點(diǎn),
∴AE=BE.
在△ADE和△BFE中,∵∠A=∠EBF,∠ADE=∠F,AE=BE,
∴△ADE≌△BFE,
∴DE=FE,AD=BF.
∵CE⊥DE,
∴直線CE是線段DF的垂直平分線,
∴DC=FC.
∵FC=BC+BF=BC+AD,
∴AD+BC=CD.
(3)△BEC的周長(zhǎng)與m的值無(wú)關(guān),理由為:
設(shè)AD=x,由AD+DE=AB=a,得:DE=a﹣x.
在Rt△AED中,根據(jù)勾股定理得:AD2+AE2=DE2,即x2+m2=(a﹣x)2,
整理得:a2﹣m2=2ax,…①
在△EBC中,由AE=m,AB=a,得:BE=AB﹣AE=a﹣m.
∵由(1)知△ADE∽△BEC,
∴,即,
解得:BC,EC,
∴△BEC的周長(zhǎng)=BE+BC+EC=(a﹣m)
=(a﹣m)(1)=(a﹣m)
,…②
把①代入②得:△BEC的周長(zhǎng)=BE+BC+EC2a,
則△BEC的周長(zhǎng)與m無(wú)關(guān).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖,將拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的拋物線,平移后的拋物線與軸分別交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn).
(1)請(qǐng)你直接寫(xiě)出拋物線的解析式;(寫(xiě)出頂點(diǎn)式即可)
(2)求出,,三點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)在軸上存在一點(diǎn),使的值最小,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐
在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在中,,,,點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn).將沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊,使點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處.問(wèn)是否存在是直角三角形?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;若存在,求出此時(shí)的長(zhǎng)度.
探究展示:勤奮小組很快找到了點(diǎn)、的位置.
如圖2,作的角平分線交于點(diǎn),此時(shí)沿所在的直線折疊,點(diǎn)恰好在上,且,所以是直角三角形.
問(wèn)題解決:
(1)按勤奮小組的這種折疊方式,的長(zhǎng)度為 .
(2/span>)創(chuàng)新小組看完勤奮小組的折疊方法后,發(fā)現(xiàn)還有另一種折疊方法,請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出來(lái).
(3)在(2)的條件下,求出的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=a(x-1)2+k與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,將拋物線y=a(x-1)2+k向上平移n個(gè)單位,平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(m,n),則m的值是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把兩條寬度都為的紙條交叉重疊放在一起,且它們的交角為,則它們重疊部分(圖中陰影部分)的面積為( ).
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與x軸,y軸的交點(diǎn)分別是A(﹣4,0),B(0,2).與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q,反比例函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P滿足:①PA⊥x軸;②PO=(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則四邊形PAQO的面積為( 。
A.7B.10C.4+2D.4﹣2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是某浴室花灑實(shí)景圖,圖2是該花灑的側(cè)面示意圖.已知活動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)B可以上下調(diào)整高度,離地面CD的距離BC=160cm.設(shè)花灑臂與墻面的夾角為α,可以扭動(dòng)花灑臂調(diào)整角度,且花灑臂長(zhǎng)AB=30cm.假設(shè)水柱AE垂直AB直線噴射,小華在離墻面距離CD=120cm處淋。
(1)當(dāng)α=30°時(shí),水柱正好落在小華的頭頂上,求小華的身高DE.
(2)如果小華要洗腳,需要調(diào)整水柱AE,使點(diǎn)E與點(diǎn)D重合,調(diào)整的方式有兩種:
①其他條件不變,只要把活動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)B向下移動(dòng)即可,移動(dòng)的距離BF與小華的身高DE有什么數(shù)量關(guān)系?直接寫(xiě)出你的結(jié)論;
②活動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)B不動(dòng),只要調(diào)整α的大小,在圖3中,試求α的度數(shù).
(參考數(shù)據(jù):≈1.73,sin8.6°≈0.15,sin36.9°≈0.60,tan36.9°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.若tan∠ABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為﹣8、2.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)直線l繞點(diǎn)A以AB為起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止,l與線段BC交于點(diǎn)D,P是AD的中點(diǎn).
①求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程;
②如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DE垂直x軸于點(diǎn)E,作DF⊥AC所在直線于點(diǎn)F,連結(jié)PE、PF,在l運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠EPF的大小是否改變?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在(2)的條件下,連結(jié)EF,求△PEF周長(zhǎng)的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】根據(jù)對(duì)寧波市相關(guān)的市場(chǎng)物價(jià)調(diào)研,某批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)甲種水果的銷售利潤(rùn)y1(千元)與進(jìn)貨量x(噸)近似滿足函數(shù)關(guān)系,乙種水果的銷售利潤(rùn)(千元)與進(jìn)貨量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系近似于二次函數(shù),函數(shù)圖象如圖所示.
(1)求出與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;
(2)如果該市場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)甲、乙兩種水果共8噸,設(shè)乙水果的進(jìn)貨量為t噸,寫(xiě)出這兩種水果所獲得的銷售利潤(rùn)之和W(千元)與t(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出這兩種水果各進(jìn)多少噸時(shí),獲得的銷售利潤(rùn)之和最大,最大利潤(rùn)是多少?
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