Question

如圖，已知點(diǎn)B，C分別在射線(xiàn)AN，AM上，∠MCB與∠NBC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P．
（1）求證：AP平分∠BAC；
（2）若∠ACB=90°，PC=4

2

，PB=5，AB=7，求AP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AM，PF⊥AN，PE⊥BC，垂足分別為D、F、E，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出PD=PE，PF=PE，故PD=PF，由此可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)∠ACB=90°可知∠ECD=90°．由PC平分∠BCD得出∠PCE=∠CPE=45°，故CE=PE=

2

2

PC=4，PF=PE=4，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AM，PF⊥AN，PE⊥BC，垂足分別為D、F、E，
∵∠MCB與∠NBC的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P．
∴PD=PE，PF=PE，
∴PD=PF，
∴AP平分∠BAC；

（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECD=90°．
∵PC平分∠BCD，
∴∠PCE=∠CPE=45°，CE=PE=

2

2

PC=4．
∴PF=PE=4，BF=

PB2-PF2

=

52-42

=3，
∴AP=

AF2+PF2

=

102+42

=2

29

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．