Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于M，P是CD延長線上一點，PE切⊙O于E，BE交CD于F．求證：PF²=PD•PC．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：作直徑EN，連結DN、CE、ED，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠EDN=90°，則∠N+∠NED=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PED+∠NED=90°，加上∠N=∠PED，所以∠N=∠C，于是可判斷△PED∽△PCE，利用相似比得到PE²=PD•PC，然后證明∠PEF=∠PFE得到PE=PF，則有PF²=PD•PC．

解答：證明：作直徑EN，連結DN、CE、ED，如圖，
∵NE為直徑，
∴∠EDN=90°，
∴∠N+∠NED=90°，
∵PE切⊙O于E，
∴∠OEP=90°，即∠PED+∠NED=90°，
∴∠N=∠PED，
∵∠N=∠C，
而∠EPD=∠CPE，
∴△PED∽△PCE，
∴PE：PC=PD：PE，
∴PE²=PD•PC，
∵CD⊥AB，
∴∠MBF+∠MFB=90°，
而∠MBF=∠OEB，∠PFE=∠MFB，
∴∠OEB+∠PFE=90°，
而∠PEF+∠OEB=90°，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF，
∴PF²=PD•PC．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．