Question

在等腰Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE且AD⊥AC，連接EC，取EC的中點M，連結DM和BM，結論：△BMD為等腰直角三角形成立嗎？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：先證明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于點N，證出△DBF是等腰直角三角形，根據點M是DF的中點，得出△BMD是等腰直角三角形．

解答：證明：過點C作CF∥ED，與DM的延長線交于點F，連接BF，
∵CF∥ED，
∴∠MCF=∠MED，
在△MDE和△MFC中，

∠MCF=∠MED EM=CM ∠CMF=∠EMD

，
∴△MDE≌△MFC（ASA），
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于點N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可證得∠1=∠2，∠3=∠4，
∵CF∥ED，
∴∠1=∠FCM，
∴∠BCF=∠4+∠FCM=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAD，
在△BCF和△BAD中，

AB=BC ∠BCF=∠BAD CF=AD

，
∴△BCF≌△BAD（SAS），
∴BF=BD，∠5=∠6，
∴∠DBF=∠5+∠ABF=∠6+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵點M是DF的中點，
∴△BMD是等腰直角三角形．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰直角三角形的性質，在本題中需要作輔助線來證明，難度較大．熟練掌握判定定理及性質并靈活運用是解題的關鍵．