Question

13．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-ax+a=1．
（1）求證：對于任意實(shí)數(shù)a，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的一個(gè)根是3，求a的值及方程的另一個(gè)根．

Answer 1

分析 （1）要想證明對于任意實(shí)數(shù)k，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，只要證明△＞0即可；
（2）把方程的一根代入原方程求出a的值，然后把a(bǔ)的值代入原方程求出方程的另一個(gè)根．

解答 解：（1）∵²-ax+a=1，
∴²-ax+a-1=0，
∴△=a²-4×1×（a-1）=a²-4a+4=（a-2）²，
∵（a-2）²≥0，
∴對于任意實(shí)數(shù)a，方程總有實(shí)數(shù)根
（2）把x=3代入原方程，得a=4．
把a(bǔ)=4代入原方程，得x²-4x+3=0．
∴x₁=3，x₂=1．
∴方程的另一個(gè)根是1．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程根的判別式以及解一元二次方程的方法，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．