【題目】已知AM∥CN,點B為平面內(nèi)一點,AB⊥BC于B.
(1)如圖1,直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,過點B作BD⊥AM于點D,求證:∠ABD=∠C;
(3)如圖3,在(2)問的條件下,點E、F在DM上,連接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度數(shù).
【答案】
(1)∠A+∠C=90°
(2)解:如圖2,過點B作BG∥DM,
∵BD⊥AM,
∴DB⊥BG,即∠ABD+∠ABG=90°,
又∵AB⊥BC,
∴∠CBG+∠ABG=90°,
∴∠ABD=∠CBG,
∵AM∥CN,
∴∠C=∠CBG,
∴∠ABD=∠C
(3)解:如圖3,過點B作BG∥DM,
∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,
∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,
由(2)可得∠ABD=∠CBG,
∴∠ABF=∠GBF,
設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,則
∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=β=∠AFB,∠BFC=3∠DBE=3α,
∴∠AFC=3α+β,
∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,
∴∠FCB=∠AFC=3α+β,
△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得
(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,①
由AB⊥BC,可得
β+β+2α=90°,②
由①②聯(lián)立方程組,解得α=15°,
∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°
【解析】解:(1)如圖1,∵AM∥CN,
∴∠C=∠AOB,
∵AB⊥BC,
∴∠A+∠AOB=90°,
∴∠A+∠C=90°,
故答案為:∠A+∠C=90°;
(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;(2)先過點B作BG∥DM,根據(jù)同角的余角相等,得出∠ABD=∠CBG,再根據(jù)平行線的性質(zhì),得出∠C=∠CBG,即可得到∠ABD=∠C;(3)先過點B作BG∥DM,根據(jù)角平分線的定義,得出∠ABF=∠GBF,再設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得(2α+β)+3α+(3α+β)=180°,根據(jù)AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程組即可得到∠ABE=15°,進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,則下列五個結(jié)論:①AD上任意一點到AB,AC兩邊的距離相等;②AD上任意一點到B,C兩點的距離相等;③AD⊥BC,且BD=CD;④∠BDE=∠CDF;⑤AE=AF.其中,正確的有( )
A.2個
B.3個
C.4個
D.5個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖一根木棒放在數(shù)軸上,木棒的左端與數(shù)軸上的點A重合,右端與點B重合.
(1)若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動,則當(dāng)它的左端移動到B點時,它的右端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為20;若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動,則當(dāng)它的右端移動到A點時,則它的左端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為5(單位:cm),由此可得到木棒長為cm.
(2)由題(1)的啟發(fā),請你能借助“數(shù)軸”這個工具幫助小紅解決下列問題:
問題:一天,小紅去問曾當(dāng)過數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g,爺爺說:“我若是你現(xiàn)在這么大,你還要40年才出生;你若是我現(xiàn)在這么大,我已經(jīng)125歲,是老壽星了,哈哈!”,請求出爺爺現(xiàn)在多少歲了?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分別過B,C向過點A的直線作垂線,垂足分別為點E,F(xiàn).
(1)如圖(1),過A的直線與斜邊BC不相交時,求證:①△ABE≌△CAF; ②EF=BE+CF
(2)如圖(2),過A的直線與斜邊BC相交時,其他條件不變,若BE=10,CF=3,試求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,①②③④⑤五個平行四邊形拼成一個含30度內(nèi)角的菱形EFGH(不重疊無縫隙).若①②③④四個平行四邊形面積的和為26cm2 , 四邊形ABCD面積是19cm2 , 則①②③④四個平行四邊形周長的總和為( )
A.96cm
B.64cm
C.48cm
D.36cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們規(guī)定:將一個平面圖形分成面積相等的兩部分的直線叫做該平面圖形的“等積線”,等積線被這個平面圖形截得的線段叫做該圖形的“等積線段”(例如三角形的中線就是三角形的等積線段).已知菱形的邊長為4,且有一個內(nèi)角為60°,設(shè)它的等積線段長為m,則m的取值范圍是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列識別圖形不正確的是( )
A.有一個角是直角的平行四邊形是矩形
B.有三個角是直角的四邊形是矩形
C.對角線相等的四邊形是矩形
D.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用一元一次方程解下列應(yīng)用題
據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示,在我國的664個城市中,按水資源可分為暫不缺水城市、一般缺水城市和嚴(yán)重缺水城市三類.其中,暫不缺水城市比嚴(yán)重缺水城市的4倍少50個,一般缺水城市是嚴(yán)重缺水城市的2倍.
(1)求嚴(yán)重缺水城市有多少個?
(2)為了解決缺水的問題,國家啟動了多個水利工程,緩解了部分嚴(yán)重缺水城市的情況,使一般性缺水城市的數(shù)目是嚴(yán)重缺水城市的9倍,求現(xiàn)在一般性缺水的城市有多少個?
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