Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝80cm，AB＝40cm，半徑為8cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切．現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)；⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動(dòng)到與CD相切時(shí)立即沿原路按原速返回，當(dāng)⊙O回到出發(fā)時(shí)的位置（即再次與AB相切）時(shí)停止移動(dòng)．已知點(diǎn)P與⊙O同時(shí)開始移動(dòng)，同時(shí)停止移動(dòng)（即同時(shí)到達(dá)各自的終止位置）．當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O1的位置時(shí)（此時(shí)圓心O1在矩形對(duì)角線BD上），DP與⊙O1恰好相切，此時(shí)⊙O移動(dòng)了（　　）cm．

A.56B.72C.56或72D.不存在

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)相同時(shí)間內(nèi)速度的比等于路程的比，可得的值，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得∠ADB=∠BDP，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BP與DP的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得DP的長，根據(jù)有理數(shù)的加法，可得P點(diǎn)移動(dòng)的距離；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得的長，分類討論：當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙的位置時(shí)，當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙位置時(shí)，根據(jù)的值，可得答案．

解：存在這種情況，

設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)速度為v1cm/s，⊙O2移動(dòng)的速度為v2cm/s，

由題意，得，

如圖②：

設(shè)直線OO1與AB交于E點(diǎn)，與CD交于F點(diǎn)，⊙O1與AD相切于G點(diǎn)，

若PD與⊙O1相切，切點(diǎn)為H，則O1G＝O1H．

易得△DO1G≌△DO1H，

∴∠ADB＝∠BDP．

∵BC∥AD，

∴∠ADB＝∠CBD

∴∠BDP＝∠CBD，

∴BP＝DP．

設(shè)BP＝xcm，則DP＝xcm，PC＝（80﹣x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，得

PC2+CD2＝PD2，即（80﹣x）2+402＝x2，

解得x＝50，

此時(shí)點(diǎn)P移動(dòng)的距離為40+50＝90cm，

∵EF∥AD，

∴△BEO1∽△BAD，

∴，即，

EO1＝64cm，OO1＝56cm．

①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為40cm，

此時(shí)點(diǎn)P與⊙O移動(dòng)的速度比為，

∵，

∴此時(shí)PD與⊙O1不能相切；

②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1位置時(shí)，⊙O移動(dòng)的距離為2（80﹣16）﹣56＝72cm，

∴此時(shí)點(diǎn)P與⊙O移動(dòng)的速度比為，

此時(shí)PD與⊙O1恰好相切，此時(shí)⊙O移動(dòng)了72cm，

故選：B．