Question

【題目】如圖，E為等腰直角△ABC的邊AB上的一點，要使AE＝3，BE＝1，P為AC上的動點，則PB＋PE的最小值為____________．

Answer 1

【答案】5

【解析】試題分析：作點B關于AC的對稱點F，構建直角三角形，根據最短路徑可知：此時PB+PE的值最小，接下來要求出這個最小值，即求EF的長即可，因此要先求AF的長，證明△ADF≌△CDB，可以解決這個問題，從而得出EF=5，則PB+PE的最小值為5．

解：如圖，過B作BD⊥AC，垂足為D，并截取DF=BD，連接EF交AC于P，連接PB、AF，則此時PB+PE的值最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=CB,∠ABC=90°，AD=DC，

∴∠BAC=∠C=45°，

∵∠ADF=∠CDB，

∴△ADF≌△CDB，

∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°，

∵AE=3，BE=1，

∴AB=BC=4，

∴AF=4，

∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,

∴由勾股定理得：EF===5，

∵AC是BF的垂直平分線，

∴BP=PF，

∴PB+PE=PF+PE=EF=5，

故答案為：5.