Question

已知：在菱形ABCD中，O是對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)如圖，P為線段BC上一點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)Q，當(dāng)O是BD的中點(diǎn)時(shí)，求證：OP＝OQ；

(2)如圖，連結(jié)AO并延長(zhǎng)，與DC交于點(diǎn)R，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)S．若AD＝4，∠DCB＝60°，BS＝10，求AS和OR的長(zhǎng)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵ABCD為菱形，∴AD∥BC． 　　∴∠OBP＝∠ODQ 　　∵O是是的中點(diǎn)， 　　∴OB＝OD 　　在△BOP和△DOQ中， 　　∵∠OBP＝∠ODQ，OB＝OD，∠BOP＝∠DOQ 　　∴△BOP≌△DOQ(ASA) 　　∴OP＝OQ． 　　(2)解：如圖，過(guò)A作AT⊥BC，與CB的延長(zhǎng)線交于T． 　　∵ABCD是菱形，∠DCB＝60° 　　∴AB＝AD＝4，∠ABT＝60° 　　∴AT＝ABsin60°＝ 　　TB＝ABcos60°＝2 　　∵BS＝10，∴TS＝TB+BS＝12， 　　∴AS＝． 　　∵AD∥BS，∴△AOD∽△SOB． 　　∴， 　　則，∴ 　　∵AS＝，∴． 　　同理可得△ARD∽△SRC． 　　∴， 　　則，∴， 　　∴． 　　∴OR＝OS-RS＝．