Question

已知：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，把它放在直角坐標(biāo)系中，使AD邊在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2

3

，8）
（1）畫出符合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系．
（2）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為P，問：在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得點(diǎn)P與點(diǎn)F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對(duì)稱，如果存在，寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題可分兩種情況，如圖；
（2）過C作CF⊥y軸于F，∠CDF=60°，CF=2

3

，因此DF=2，CD=4．因此OA=OF-AF=8-（4+2）=2，因此A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．由于菱形的邊長(zhǎng)為4，因此將C點(diǎn)坐標(biāo)向下平移4個(gè)單位就是B點(diǎn)的坐標(biāo)（2

3

，4）；
（3）在（2）中所作的F點(diǎn)其實(shí)就是P點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，理由：根據(jù)菱形的性質(zhì)可知：∠FAC=30°，因此在直角三角形FAC中，F(xiàn)C=

1

2

AC=PC，而∠DCF=∠DCP=30°，因此△CFE≌△CPE，因此CD垂直平分PF，即可得出P、F關(guān)于CD對(duì)稱．

解答：解：本題有兩種情況：
第一種情況：（1）畫圖，如圖所示．

（2）過C作CF⊥y軸于F，∠CDF=60°，CF=2

3

，
∵tan60°=

FC

DF

=

3

，

2 3

DF

=

3

，
∴DF=2，
CD=4．因此OA=OF-AF=8-（4+2）=2，因此A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）．
由于菱形的邊長(zhǎng)為4，因此將C點(diǎn)坐標(biāo)向下平移4個(gè)單位就是B點(diǎn)的坐標(biāo)（2

3

，4）；
則A（0，2），B（2

3

，4）．
（3）F（0，8）；

第二種情況：（1）畫圖，如圖所示．

（2）A′（0，14），B′（2

3

，12）
（3）F′（0，8）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形等知識(shí)點(diǎn)．