Question

3．如圖，點A是x軸正半軸上的任意一點，過點A作EF∥y軸，分別交反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{{\;}_{1}}}{x}$（y₁＞0）和y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（y₂＜0）的圖象于點E、F，且$\frac{EA}{FA}$=$\frac{5}{3}$，連接OE、OF，有下列結(jié)論：①這兩個函數(shù)的圖象關于x軸對稱；②△EOF的面積為$\frac{1}{2}$（k₁-k₂）；③$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{3}{5}$；④當∠EOF=90°時，$\frac{OE}{OF}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，其中正確的是（　�。�

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 ①③由點在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{5}{3}$，由此即可得出①③錯誤；②由反比例函數(shù)系數(shù)k的結(jié)合意義，結(jié)合k₁、k₂的正負即可得出S_△OEF=S_△OAE+S_△OAF=$\frac{1}{2}$（k₁-k₂），即②正確；④設EA=5a，OA=b，則FA=3a，根據(jù)勾股定理表示出OE、OF，再根據(jù)∠EOF=90°利用勾股定理即可得出b²=15a²，將其代入OE、OF中，即可得出$\frac{OE}{OF}=\frac{\sqrt{25{a}^{2}+15{a}^{2}}}{\sqrt{9{a}^{2}+15{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，即④正確．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：①∵點E在反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{{\;}_{1}}}{x}$（y₁＞0）的圖象上，點F在反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$（y₂＜0）的圖象上，且$\frac{EA}{FA}$=$\frac{5}{3}$，
∴k₁=OA•EA，k₂=-OA•FA，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{5}{3}$，
∴這兩個函數(shù)的圖象不關于x軸對稱，即①錯誤；
②∵點E在反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{{\;}_{1}}}{x}$的圖象上，點F在反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$的圖象上，
∴S_△OAE=$\frac{1}{2}$k₁，S_△OAF=-$\frac{1}{2}$k₂，
∴S_△OEF=S_△OAE+S_△OAF=$\frac{1}{2}$（k₁-k₂），即②正確；
③由①可知$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=-$\frac{5}{3}$，
∴③錯誤；
④設EA=5a，OA=b，則FA=3a，
由勾股定理可知：
OE=$\sqrt{25{a}^{2}+^{2}}$，OF=$\sqrt{9{a}^{2}+^{2}}$．
∵∠EOF=90°，
∴OE²+OF²=EF²，即25a²+b²+9a²+b²=64a²，
∴b²=15a²，
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{\sqrt{25{a}^{2}+15{a}^{2}}}{\sqrt{9{a}^{2}+15{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，④正確．
綜上可知：正確的結(jié)論有②④．
故選B．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、三角形的面積公式以及勾股定理，解題的關鍵是逐條分析4條結(jié)論是否正確．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題時，直接由反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征求出$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$的值排除①③即可得出結(jié)論了，②④可不必去考慮．