【題目】如圖1,把兩塊全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF疊放在一起,使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合.把三角板ABC固定不動(dòng),讓三角板DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),兩邊分別與線段AB,BC相交于點(diǎn)P,Q,易說明△APD∽△CDQ.根據(jù)以上內(nèi)容,回答下列問題:
(1)如圖2,將含30°角的三角板DEF(其中∠EDF=30°)的銳角頂點(diǎn)D與等腰△ABC(其中∠ABC=120°)的底邊中點(diǎn)O重合,兩邊DF,DE分別與邊AB,BC相交于點(diǎn)P,Q.寫出圖中的相似三角形__ _ (直接填在橫線上);
(2)其他條件不變,將三角板DEF旋轉(zhuǎn)至兩邊DF,DE分別與邊AB的延長線、邊BC相交于點(diǎn)P,Q.上述結(jié)論還成立嗎?請你在圖3上補(bǔ)全圖形,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,連接PQ,△APD與△DPQ是否相似?請說明理由;
(4)根據(jù)(1)(2)的解答過程,你能否將兩三角板改為更一般的三角形,使得(1)中的結(jié)論仍然成立?若能,請說明兩個(gè)三角形應(yīng)滿足的條件;若不能,請簡要說明理由.
【答案】(1)△APD∽△CDQ; (2)成立,圖見解析,理由見解析;(3)△APD∽△DPQ,理由見解析;(4)△DEF滿足∠EDF=α,△ABC 滿足頂角為(180°-2α)的等腰三角形即可,理由見解析.
【解析】
(1)通過角的轉(zhuǎn)化得出∠APD=∠CDQ,進(jìn)而可得出△APD∽△CQD;
(2)由已知可得∠BAC=∠BCA,再根據(jù)已知可推導(dǎo)得出∠APD=∠CDQ,繼而可得出△APD∽△CQD;
(3)△APD∽△DPQ,理由如下:由△APD∽△CDQ,可得,再根據(jù)點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),繼而可得出,再根據(jù)∠PAD=∠PDQ=30°,即可證明△APD∽△DPQ;
(4)△DEF滿足∠EDF=α,△ABC 滿足頂角為(180°-2α)的等腰三角形即可.
(1)∵∠ABC=120°,
∴∠A=∠C=30°,
∵∠ADP+∠APD=150°,∠ADP+∠QDC=150°,
∴∠APD=∠CDQ,
∴△APD∽△CDQ,
故答案為:△APD∽△CDQ;
(2)成立,如圖,理由如下:
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠ABC=120°,
∴∠BAC=∠BCA=30°,
∴∠ADP+∠APD=180°-30°=150°,
∵∠EDF=30°,
∴∠ADP+∠CDQ=150°,
∴∠APD=∠CDQ,
∴△APD∽△CDQ;
(3)△APD∽△DPQ,理由如下:
如圖,∵△APD∽△CDQ,
∴,
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),
∴CD=AD,
∴,即,
又∵∠PAD=∠PDQ=30°,
∴△APD∽△DPQ;
(4)△DEF滿足∠EDF=α,△ABC 滿足頂角為(180°-2α)的等腰三角形即可,
理由:∵∠ABC=180°-2α,
∴∠A=∠C=α,
∵∠ADP+∠APD=180°-α,∠ADP+∠QDC=180°-α,
∴∠APD=∠CDQ,
又∵∠A=∠C,
∴△APD∽△CDQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長是,連接交于點(diǎn)O,并分別與邊交于點(diǎn),連接AE,下列結(jié)論: ; ; ; 當(dāng)時(shí), ,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,AD=8cm,直線 EF 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AD 方向勻速運(yùn)動(dòng),速度是 2cm/s,運(yùn)動(dòng)過程中始終保持 EF∥AC.F 交
AD 于 E,交 DC 于點(diǎn) F;同時(shí),點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CB 方向勻速運(yùn)動(dòng),速度是 1cm/s,連接 PE、PF,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t(s)(0<t<4).
(1)當(dāng) t=1 時(shí),求 EF 長;
(2)求 t 為何值時(shí),四邊形 EPCD 為矩形;
(3)設(shè)△PEF 的面積為 S(cm2),求出面積 S 關(guān)于時(shí)間 t 的表達(dá)式;
(4)在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻使 S△PC F:S 矩形 ABCD=3:16?若存在, 求出 t 的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 某校為了了解學(xué)生的安全意識,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,把學(xué)生的安全意識分成“淡薄”、“一般”、“較強(qiáng)”、“很強(qiáng)”四個(gè)層次,并繪制成如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖,如圖所示:
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)這次調(diào)查一共抽取了______名學(xué)生,將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“較強(qiáng)”層次所占圓心角的大小為______°;
(3)若該校有3200名學(xué)生,現(xiàn)要對安全意識為“淡薄”、“一般”的學(xué)生強(qiáng)化安全教育,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,請你估計(jì)全校需要強(qiáng)化安全教育的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 在正方形ABCD中.
(1)如圖1,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,AE、BF相交于點(diǎn)O,∠AOB=90°,試判斷AE與BF的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖2,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊BC、CD、DA、AB上,EG、FH相交于點(diǎn)O,∠GOH=90°,且EG=7,求FH的長;
(3)如圖3,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,AE、BF相交于點(diǎn)O,∠AOB=90°,若AB=5,圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為4:5,求△ABO的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校舉辦的八年級學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)大賽共設(shè)個(gè)項(xiàng)目:七巧板拼圖,趣題巧解,數(shù)學(xué)應(yīng)用,每個(gè)項(xiàng)目得分都按一定百分比折算后計(jì)入總分,總分高的獲勝,下表為小米和小麥兩位同學(xué)的得分情況(單位:分):
七巧板拼圖 | 趣題巧解 | 數(shù)學(xué)應(yīng)用 | |
小米 | |||
小麥 |
若七巧板拼圖,趣題巧解,數(shù)學(xué)應(yīng)用三項(xiàng)得分分別按折算計(jì)入總分,最終誰能獲勝?
若七巧板拼圖按折算,小麥 (填“可能”或“不可能”)獲勝.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,, 點(diǎn)分別在線段上,且
求證:
已知分別是的中點(diǎn),連結(jié)
①若,求的度數(shù):
②連結(jié)當(dāng)的長為何值時(shí),四邊形是矩形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=12,∠A=60°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE、EF.
(1)AB的長是 .
(2)在D、E的運(yùn)動(dòng)過程中,線段EF與AD的關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變化,那么線段EF與AD是何關(guān)系,并給予證明;若變化,請說明理由.
(3)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠0),過(1,y1)(2,y2).
①若 y1>0 時(shí),則 a+b+c>0
②若 a=b 時(shí),則 y1<y2
③若 y1<0,y2>0,且 a+b<0,則 a>0
④若 b=2a﹣1,c=a﹣3,且 y1>0,則拋物線的頂點(diǎn)一定在第三象限上述四個(gè)判斷正確的有( )個(gè).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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