14.如圖,動點P沿著半徑為1的單位圓繞原點旋轉(zhuǎn),線段OP在x軸的投影為OA.
(1)寫出三角形OAP的面積y與動點P的橫坐標(biāo)x的關(guān)系式;
(2)當(dāng)α等于多少時,y的值最大?
(3)寫出y為最大值時,動點P的坐標(biāo).
(提示:求y=-2x2+x的最小值,令m=x2,則:y=-2m+m2,當(dāng)m=-$\frac{2a}$=$\frac{2}{2}$=1時,ymin=$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{-4}{4}$=-1,此時,x=±1)

分析 (1)設(shè)動點P的橫坐標(biāo)為x,則OA=|x|,則利用勾股定理表述計算出PA=$\sqrt{1-{x}^{2}}$,利用三角形面積公式得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$•|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$(-1≤x≤1);
(2)利用不等式公式得到|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+(\sqrt{1-{x}^{2}})^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$,則y≤$\frac{1}{4}$,由于當(dāng)且僅當(dāng)|x|=$\sqrt{1-{x}^{2}}$時等號成立,解關(guān)于x的方程得到x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$,此時y的值最大,利用特殊角的三角函數(shù)值可得OP與x軸的正方向的夾角為45°或135°;
(3)分類討論:當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為45°時,易得P點坐標(biāo)為($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或($\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$);當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為135°時,易得P點坐標(biāo)為(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$).

解答 解:(1)設(shè)動點P的橫坐標(biāo)為x,則OA=|x|,
在Rt△OAP中,PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$,
所以y=$\frac{1}{2}$•|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$(-1≤x≤1);
(2)∵|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+(\sqrt{1-{x}^{2}})^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∴y≤$\frac{1}{4}$,
∵當(dāng)且僅當(dāng)|x|=$\sqrt{1-{x}^{2}}$時等號成立,
∴x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時,y的值最大,
此時OP與x軸的正方向的夾角為45°或135°;
即α=45°或135°時,y的值最大;
(3)當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為45°時,P點坐標(biāo)為($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或($\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$);
當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為135°時,P點坐標(biāo)為(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$).

點評 本題考查了圓的綜合題:熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì);會利用勾股定理計算相應(yīng)線段的長;理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì);會應(yīng)用不等式公式ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$(a、b為正數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號).

練習(xí)冊系列答案
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(1)自變量取值范圍:x≠±1
(2)畫圖象
①列表
x-$\frac{9}{4}$-2-$\frac{7}{4}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{5}{4}$
y0.250.330.480.81.78
x-$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$0$\frac{1}{4}$$\frac{1}{2}$$\frac{3}{4}$
y-2.29-1.33-1.07-1-1.07-1.33-2.29
x$\frac{5}{4}$$\frac{3}{2}$$\frac{7}{4}$2$\frac{9}{4}$
y1.780.80.480.330.25
②描點:(見坐標(biāo)系)
③連線:請你在坐標(biāo)系中補全圖象
(3)進一步探究發(fā)現(xiàn),該函數(shù)圖象在y軸上有一交點為(0,-1),結(jié)合圖象,請你寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)
(一條即可):x<-1時y隨x增大而增大.

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19.沿圖1長方形中的虛線平均分成四塊小長方形,然后按圖2的形狀拼成一個正方形.
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(2)觀察圖2請你寫出代數(shù)式(m+n)2、(m-n)2、mn之間的等量關(guān)系式(m+n)2-4mn=(m-n)2
(3)根據(jù)你得到的關(guān)系式解答下列問題:若x+y=-6,xy=5,則x-y=±4.

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