分析 (1)設(shè)動點P的橫坐標(biāo)為x,則OA=|x|,則利用勾股定理表述計算出PA=$\sqrt{1-{x}^{2}}$,利用三角形面積公式得到y(tǒng)=$\frac{1}{2}$•|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$(-1≤x≤1);
(2)利用不等式公式得到|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+(\sqrt{1-{x}^{2}})^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$,則y≤$\frac{1}{4}$,由于當(dāng)且僅當(dāng)|x|=$\sqrt{1-{x}^{2}}$時等號成立,解關(guān)于x的方程得到x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$,此時y的值最大,利用特殊角的三角函數(shù)值可得OP與x軸的正方向的夾角為45°或135°;
(3)分類討論:當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為45°時,易得P點坐標(biāo)為($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或($\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$);當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為135°時,易得P點坐標(biāo)為(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
解答 解:(1)設(shè)動點P的橫坐標(biāo)為x,則OA=|x|,
在Rt△OAP中,PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{1-{x}^{2}}$,
所以y=$\frac{1}{2}$•|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$(-1≤x≤1);
(2)∵|x|•$\sqrt{1-{x}^{2}}$≤$\frac{{x}^{2}+(\sqrt{1-{x}^{2}})^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$,
∴y≤$\frac{1}{4}$,
∵當(dāng)且僅當(dāng)|x|=$\sqrt{1-{x}^{2}}$時等號成立,
∴x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$時,y的值最大,
此時OP與x軸的正方向的夾角為45°或135°;
即α=45°或135°時,y的值最大;
(3)當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為45°時,P點坐標(biāo)為($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或($\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$);
當(dāng)OP與x軸的正方向的夾角為135°時,P點坐標(biāo)為(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)或(-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
點評 本題考查了圓的綜合題:熟練掌握與圓有關(guān)的性質(zhì);會利用勾股定理計算相應(yīng)線段的長;理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì);會應(yīng)用不等式公式ab≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$(a、b為正數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號).
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x | … | -$\frac{9}{4}$ | -2 | -$\frac{7}{4}$ | -$\frac{3}{2}$ | -$\frac{5}{4}$ | … |
y | … | 0.25 | 0.33 | 0.48 | 0.8 | 1.78 | … |
x | -$\frac{3}{4}$ | -$\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{4}$ | 0 | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{4}$ |
y | -2.29 | -1.33 | -1.07 | -1 | -1.07 | -1.33 | -2.29 |
x | … | $\frac{5}{4}$ | $\frac{3}{2}$ | $\frac{7}{4}$ | 2 | $\frac{9}{4}$ | … |
y | … | 1.78 | 0.8 | 0.48 | 0.33 | 0.25 | … |
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