Question

16．如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E為OB的中點，連接CE并延長交⊙O于點F，點F恰好落在$\widehat{AB}$的中點，連接AF并延長與CB的延長線相交于點G，連接OF．
（1）求證：OF=$\frac{1}{2}$BG；
（2）若AB=4，求DC的長．

Answer 1

分析 （1）直接利用圓周角定理結(jié)合平行線的判定方法得出FO是△ABG的中位線，即可得出答案；
（2）首先得出△FOE≌△CBE（ASA），則BC=FO=$\frac{1}{2}$AB=2，進而得出AC的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出DC的長．

解答 （1）證明：∵以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，點F恰好落在$\widehat{AB}$的中點，
∴$\widehat{AF}$=$\widehat{BF}$，
∴∠AOF=∠BOF，
∵∠ABC=∠ABG=90°，
∴∠AOF=∠ABG，
∴FO∥BG，
∵AO=BO，
∴FO是△ABG的中位線，
∴FO=$\frac{1}{2}$BG；

（2）解：在△FOE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOE=∠CBE}\\{EO=BE}\\{∠OEF=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△FOE≌△CBE（ASA），
∴BC=FO=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
連接DB，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{DC}{2}$，
解得：DC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確得出△BCD∽△ACB是解題關(guān)鍵．