Question

如圖，在平面直角坐標系中，☉O的半徑為5．弦AB平行于x軸，且AB=8．
（1）求B點坐標

（2）☉O交y軸負半軸于點C，P為

BC

上一動點，連PA、PB、PC，過C作CD⊥BP，交BP的延長線于點D．求證：

PA-PB

PD

=2

（3）過點B作弦BM、BN，與x軸分別交于E、F，BE=BF，連接MN與x軸交于H．當M、N兩點運動時，判斷①∠BOE+∠BNH是定值；②∠BOE+∠OHM是定值，哪一個結論正確，說明理由并求出定值．

Answer 1

分析：（1）連接OH，根據勾股定理求得OC=3，從而得出點H的坐標；
（2）連接AC、BC，作CG⊥AP于點G．由鄰補角的定義、圓內接四邊形的對角互補、圓周角定理以及等量代換，得∠CPD=∠CAB=∠CBA=∠APC（等量代換），即CP為∠APD的角平分線．然后通過全等三角形Rt△CGP≌Rt△CDP（HL）的對應邊相等、全等三角形Rt△BCD≌Rt△ACG（HL）的對應邊相等證得

PA-PB

PD

的值；
（3）過點B作BP⊥EF于點P，并延長BP交⊙O于點Q，連接OQ，交BM于點T，設⊙O與x正半軸交于點I．則

BI

=

QI

，則∠BOH=∠QOH，由△DEF是等腰三角形，得

MQ

=

NQ

，則∠OHM+∠QOH=90°，從而得出∠BOE+∠OHM=90°，即∠BOE+∠OHM是定值．

解答：（1）解：連接OB，如圖1，
∵AB∥x軸，
∴AB⊥y軸
∴BD=

1

2

AB=4，
∴OD=

OB2-BD2

=

52-43

=3，
∴B點坐標為（4，3）；

（2）證明：如圖2，連接AC、BC，作CG⊥AP于點G．
∵AC=BC（等腰三角形“三合一”的性質），
∴∠CAB=∠CBA（等邊對等角）．
又∵∠CPD+∠CPB=180°，∠CPB+∠CAB=180°（圓內接四邊形的對角互補），∠ABC=∠APC（同弧所對的圓周角相等），
∴∠CPD=∠CAB=∠CBA=∠APC（等量代換），即CP為∠APD的角平分線．
而CG⊥AP，CD⊥BP，
∴GP=DP（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）．
在Rt△CGP和Rt△CDP中，
∵

GP=DP CP=CP(公共邊)

，
∴Rt△CGP≌Rt△CDP（HL），
∴CD=CG（全等三角形的對應邊相等）．
在Rt△BCD和Rt△ACG中，
∵

CD=CG BC=AC

，
∴Rt△BCD≌Rt△ACG（HL），
∴AG=BD（全等三角形的對應邊相等），
∴PA-PB=AG+PG-PB=BD+PD-PB=2PD（等量代換），
∴

PA-PB

PD

=2；

（3）解：當M、N兩點運動時，∠BOE+∠OHM是定值．理由如下：
如圖3，過點B作BP⊥EF于點P，并延長BP交⊙O于點Q，連接OQ，交BM于點T，設⊙O與x正半軸交于點I．則

BI

=

QI

，
∴∠BOH=∠QOH，
∵BE=BF，BQ⊥EF，
∴BQ平分∠NBM，
∴

MQ

=

NQ

，
∴OQ⊥MN，
∴∠OHM+∠QOH=90°，
∴∠BOE+∠OHM=90°，即∠BOE+∠OHM是定值．

點評：本題考查了圓周角定理及其推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半；直徑所對的圓周角為直角．也考查了垂徑定理以及角平分線的定義．