Question

【題目】我們給出如下定義：若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個(gè)四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊．

（1）寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱　　　　　　，　　　　　　；

（2）如圖1，已知格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你直接寫出所有以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，OA、OB為勾股邊且有對角線相等的勾股四邊形OAMB的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）如圖2，將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD、DC，∠DCB=30°．求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．

（4）若將圖2中△ABC繞頂點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度（0°＜a＜90°），得到△DBE，連接AD、DC，則∠DCB=　　　　　　°，四邊形ABCD是勾股四邊形．

Answer 1

【答案】（1）矩形；正方形（答案不唯一）；（2）詳見解析：（3，4）或（4，3）；（3）詳見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義和勾股四邊形的性質(zhì)，有矩形或正方形或直角梯形滿足題意；

（2）OM=AB知以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的M共兩個(gè)，分別得出答案；

（3）連接CE，證明△BCE是等邊三角形，△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形；

（4）連接CE，證明△DCE是直角三角形，繼而可證明四邊形ABCD是勾股四邊形．

試題解析：（1）學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：矩形，正方形；

（2）如圖1所示：M（3，4），M（4，3）；

（3）如圖2，連接CE，由旋轉(zhuǎn)得：△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

∵∠CBE=60，

∴△CBE為等邊三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60，

∵∠DCB=30，

∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

∴即四邊形ABCD是勾股四邊形．

（4）如圖3，當(dāng)∠DCB=，四邊形ABCD是勾股四邊形，

理由：連接CE，

由旋轉(zhuǎn)得：△ABC≌△DBE，

∴AC=DE，BC=BE，

又∵∠CBE=α，

∴∠BCE=∠BEC=90°-，

∴∠DCE=90°，

∴DC2+EC2=DE2，

∴DC2+BC2=AC2．

∴即四邊形ABCD是勾股四邊形