Question

4．如圖，在△ABC中，∠C=45°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D；AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)G，交BC與點(diǎn)F，連接AD、AF，若AC=3$\sqrt{2}$，BC=9，則DF等于（　�。�

• A． $\frac{9}{4}$
• B． $\frac{7}{2}$
• C． 4
• D． $3\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出BD=AD，AF=CF，推出∠C=∠CAF=45°，求出∠AFC=∠AFD=90°，解直角三角形求出AF和CF，根據(jù)勾股定理求出DF即可．

解答 解：∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D；AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)G，交BC與點(diǎn)F，AC=3$\sqrt{2}$，
∴BD=AD，AF=CF，
∵∠C=45°
∴∠C=∠CAF=45°，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
在Rt△AFC中，AF=CF=3$\sqrt{2}$×sin30°=3，
∵BC=9，
∴BF=9-3=6，
設(shè)DF=x，則BD=AD=6-x，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：（6-x）²=x²+3²，
解得：x=$\frac{9}{4}$，
即DF=$\frac{9}{4}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能得出關(guān)于x的方程是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．