【題目】已知拋物線y=x2﹣2和x軸交于A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊)兩點(diǎn),和y軸交于點(diǎn)C,P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求出A,C的坐標(biāo);
(2)求動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離的最小值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),過(guò)P的直線交x軸于E,若△POE和△POC全等,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)A(﹣,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣2);(2)最小值為,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣)或(﹣,﹣);(3)P(﹣1,﹣1)或(1,1).
【解析】
(1)令y=0,解方程求出x的值,即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo),令x=0求出y的值,即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2﹣2),利用勾股定理列式求出OP2,再根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答;
(3)根據(jù)二次函數(shù)的增減性,點(diǎn)P在第三四象限時(shí),OP≠1,從而判斷出OC與OE是對(duì)應(yīng)邊,然后確定出點(diǎn)E與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠POC=∠POE,然后根據(jù)第三、四象限角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的坐標(biāo)特征利用拋物線解析式求解即可.
解:(1)令y=0,則x2﹣2=0,
解得x=±,
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B右邊,
∴A(,0),
令x=0,則y=﹣2,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,﹣2);
(2)∵P為拋物線y=x2﹣2上的動(dòng)點(diǎn),
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,x2﹣2),
則OP2=x2+(x2﹣2)2=x4﹣3x2+4=(x2﹣)2+,
∴當(dāng)x2=,即x=±時(shí),OP2最小,OP的值也最小,最小值為,
此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,﹣)或(﹣,﹣);
(3)∵OP2=(x2﹣)2+,
∴點(diǎn)P在第三四象限時(shí),OP≠1,
∵△POE和△POC全等,
∴OC與OE是對(duì)應(yīng)邊,
∴∠POC=∠POE,
∴點(diǎn)P在第三、四象限角平分線上,
①點(diǎn)P在第三象限角平分線上時(shí),y=x,
∴x2﹣2=x,
解得x1=﹣1,x2=2(舍去),
此時(shí),點(diǎn)P(﹣1,﹣1);
②點(diǎn)P在第四象限角平分線上時(shí),y=﹣x,
∴x2﹣2=﹣x,
解得x1=1,x2=﹣2(舍去),
此時(shí),點(diǎn)P(1,1),
綜上所述,P(﹣1,﹣1)或(1,1)時(shí)△POE和△POC全等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線與雙曲線交于,兩點(diǎn),過(guò)作軸于點(diǎn),過(guò)作軸于點(diǎn),連接.
(Ⅰ)求,兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)試探究直線與的位置關(guān)系并說(shuō)明理由.
(Ⅲ)已知點(diǎn),且,在拋物線上,若當(dāng)(其中)時(shí),函數(shù)的最小值為,最大值為,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,點(diǎn)是的中點(diǎn),以為直角邊向外作等腰,連接,當(dāng)取最大值時(shí),則的度數(shù)是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A是雙曲線在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn),連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B,以AB為斜邊作等腰Rt△ABC,點(diǎn)C在第二象限,隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C的位置也不斷的變化,但始終在一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng),則這個(gè)函數(shù)的解析式為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,若AB是⊙O的直徑,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,則∠BCD=( )
A.116°B.32°C.58°D.64°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過(guò)A(-5,0),B(-4,-3)兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,連接CD.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B,C不重合),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t.當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí),求△PBC的面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)在第一象限的圖象交于A(1,a)和B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn),且滿足△ACP是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于點(diǎn)和實(shí)數(shù),給出如下定義:當(dāng)時(shí),以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,稱為點(diǎn)的倍相關(guān)圓.
例如,在如圖1中,點(diǎn)的1倍相關(guān)圓為以點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓.
(1)在點(diǎn)中,存在1倍相關(guān)圓的點(diǎn)是________,該點(diǎn)的1倍相關(guān)圓半徑為________.
(2)如圖2,若是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在第一象限內(nèi),且滿足,判斷直線與點(diǎn)的倍相關(guān)圓的位置關(guān)系,并證明.
(3)如圖3,已知點(diǎn),反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱.
①若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的3倍相關(guān)圓的半徑為________.
②點(diǎn)在直線上,點(diǎn)的倍相關(guān)圓的半徑為,若點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,以點(diǎn)為圓心,為半徑的圓與反比例函數(shù)的圖象最多有兩個(gè)公共點(diǎn),直接寫出的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,連接,是的中點(diǎn),是上一點(diǎn),且,是上一動(dòng)點(diǎn),則的最大值為__________.
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