Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O且與AB、CD分別相交于點E、F，連接EC．

（1）求證：OE=OF；

（2）若EF⊥AC，平行四邊形ABCD的周長是22，求△BEC的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）11.

【解析】

（1）由已知條件證△DFO≌△BEO即可得到結論；

（2）由平行四邊形ABCD的周長為22可得AB+BC=11；由已知易得點O是AC的中點，結合EF⊥AC可得EF是AC的垂直平分線，由此可得AE=EC，從而可得△BEC的周長=BC+BE+EC=BC+BE+AE=BC+AB=11.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OD=OB，DC∥AB，

∴∠FDO=∠EBO，

在△DFO和△BEO中，

∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠FOD=∠EOB，

∴△DFO≌△BEO（ASA），

∴OE=OF．

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC.

∵EF⊥AC，

∴AE＝CE.

∵平行四邊形ABCD的周長是22，即2(BC＋AB)＝22.

∴BC＋AB=11，

∴△BEC的周長=BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝11.