【題目】數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下框中的題目.

在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且ED=EC,如圖.試確定線段AE與DB的大小關(guān)系,并說明理由.

小敏與同桌小聰討論后,進行了如下解答:

(1)特殊情況,探索結(jié)論

當(dāng)點E為AB的中點時,如圖1,確定線段AE與的DB大小關(guān)系.請你直接寫出結(jié)論:

AE DB(填“>”,“<”或“=”).

圖1 2

(2)特例啟發(fā),解答題目

解:題目中,AE與DB的大小關(guān)系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).

理由如下:如圖2,過點E作EFBC,交AC于點F.

(請你完成以下解答過程)

(3)拓展結(jié)論,設(shè)計新題

在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在直線BC上,且ED=EC.若ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).

【答案】(1)=;(2)=,過程見解析;(3)CD的長是1或3.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)△ABC是等邊三角形,點E為AB的中點,即可得出CE⊥AB,進而得出∠ECB=∠D=∠DEB=30°,即可得出線段AE與DB的大小關(guān)系;

(2)首先得出BE=CF,進而得出∠EDB=∠ECB,∠BED=∠FCE,進而利用△DBE≌△EFC即可得出答案;

(3)分兩種情況進行討論,①當(dāng)E在線段BA的延長線上,D在線段BC的延長線上;②當(dāng)E在線段AB的延長線上,D在線段CB的延長線上.

試題解析:(1)∵△ABC是等邊三角形,點E為AB的中點,

∴∠ABC=60°,CE⊥AB,

∴AE=BE,

∴∠ECB=∠D=∠DEB=30°,

∴AE=DB,

故答案為:=;

(2) 在等邊ABC中,

∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,

∵EF∥BC

∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC,

∴AE=AF=EF,

∴AB-AE=AC-AF

即BE=CF,

∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°,

∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°,

∵ED=EC

∴∠EDB=∠ECB,

∵∠EBC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,

∴∠BED=∠FCE,

∴△DBE≌△EFC(SAS)

∴DB=EF,

∴AE=BD,

故答案為:=;

(3)CD的長是1或3.

參考做法如下:

當(dāng)E在線段BA的延長線上,D在線段BC的延長線上時,如圖1所示,

過E作EFBD,垂足為F點,可得∠EFB=90°,

EC=ED,F為CD的中點,即CF=DF=CD,

∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=60°,

∴∠BEF=30°,

∵BE=AB+AE=1+2=3

FB=EB=,

CF=FB-BC=,

則CD=2CF=1;

當(dāng)E在線段AB的延長線上,D在線段CB的延長線上時,如圖2所示,

過E作EFBD,垂足為F點,可得∠EFC=90°

EC=ED,F為CD的中點,即CF=DF=CD,

∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=∠EBF=60°,

∴∠BEF=30°

∵BE=AE-AB=2-1=1,

FB=BE=

CF=BC+FB=,

則CD=2CF=3,

綜上,CD的值為1或3.

圖1 圖2

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