Question

6．如圖①，將兩個完全相同的三角板紙片ABC與DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）如圖②，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，DE交BC于點F，則線段DF與AC有怎樣的關系？請說明理由．
（2）當△DEC繞點C旋轉到圖③的位置時，設△BDC的面積為S₁，△AEC中的面積為S₂，猜想：S₁與S₂有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據(jù)內錯角相等，兩直線平行解答；
（2）過D點作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，先依據(jù)AAS求得△ACM≌△DCN求得AM=DN，然后根據(jù)等底等高的三角形面積相等．

解答 解：（1）DF∥AC；
∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，
∴∠A=∠CDE=60°，
∵AC=DC，
∴△ACD是等邊三角形，
∴∠ACD=60°=∠CDE，
∴DF∥AC，
∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AC；
（2）S₁=S₂；
過D點作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，如圖③，

∵∠ECD=90°，
∴∠DCM=90°
∴∠DCN=90°-∠NCM，
又∵∠ACM=90°-∠NCM，
∴∠ACM=∠DCN，
在△ACM與△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠DCN}\\{AC=CD}\\{∠AMC=∠DNC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（AAS），
∴AM=DN，
又∵CE=BC，
∴$\frac{1}{2}$BC•DN=$\frac{1}{2}$CE•AM，
即S₁=S₂．

點評 本題考查了等邊三角形的判定及性質平行線的判定及性質，全等三角形的判定及性質以及等底等高的三角形面積相等．