Question

【題目】（問題原型）

如圖①，AB∥CD，點M在直線AB、CD之間，則∠M＝∠B+∠D，小明解決上述問題的過程如下：

如圖②，過點M作MN∥AB

則∠B＝_______（_______）

∵AB∥CD，（已知）

MN∥AB（輔助線的做法）

∴MN∥CD（______）

∴∠______＝∠D（______）

∴∠B+∠D＝∠BMD

請完成小明上面的過程．

（問題遷移）

如圖③，AB∥CD，點M與直線CD分別在AB的兩側，猜想∠M、∠B、∠D之間有怎樣的數(shù)量關系，并加以說明．

（推廣應用）

（1）如圖④，AB∥CD，點M在直線AB、CD之間，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點N，∠M＝96°，則∠N＝_____°；

（2）如圖⑤，AB∥CD，點M與直線CD分別在AB的兩側，∠ABM的平分線與∠CDM的平分線交于點N，∠N＝25°，則∠M＝______°；

（3）如圖⑥，AB∥CD，∠ABG的平分線與∠CDE的平分線交于點M，∠G＝78°，∠F＝64°，∠E＝64°，則∠M＝_______°．

Answer 1

【答案】(問題原型)∠BMN；兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩直線平行；∠NMD；兩直線平行，內錯角相等；(問題遷移)∠BMD＝∠D﹣∠B；證明見解析；(推廣應用)（1）∠N＝48°；（2）∠M＝50°；（3）∠M＝39°，

【解析】

(問題原型)：過點M作MN∥AB，根據平行線的性質即可得答案；(問題遷移)過點M作MN∥AB，由平行線的性質可得∠1＝∠B，∠NMD＝∠D，利用角的和差即可得答案；(推廣應用)：（1）利用圖②結論，結合角平分線的性質即可得答案；（2）利用圖③的結論，結合角平分線的性質即可得出答案；（3）如圖⑥，過G，F，E分別作GN∥AB，FH∥AB，EP∥AB，根據平行線的性質，結合角平分線的性質利用圖②的結論即可得出答案.

(問題原型)：

如圖②，過點M作MN∥AB，

則∠B＝∠BMN（兩直線平行，內錯角相等）

∵AB∥CD，（已知）

∴MN∥AB（輔助線的做法）

∴MN∥CD（平行于同一條直線的兩直線平行）

∴∠NMD＝∠D（兩直線平行，內錯角相等）

∴∠B+∠D＝∠BMD，

故答案為：∠BMN，兩直線平行，內錯角相等，平行于同一條直線的兩直線平行，∠NMD，兩直線平行，內錯角相等，

（問題遷移）：

如圖③，過點M作MN∥AB，

∴∠1＝∠B，

∵AB∥CD，

∴MN∥AB，

∴∠NMD＝∠D，

∵∠NMD＝∠1+∠BMD，

∴∠BMD＝∠D﹣∠B；

（推廣應用）：

（1）如圖④，由如圖②的結論可得，∠ABM+∠CDM＝∠M＝96°，∠N＝∠ABN+∠CDN，

∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，

∴∠ABN+∠CDN＝＝（∠ABM+∠CDM）＝48°，

∴∠N＝48°；

（2）如圖⑤，由如圖③的結論可得，∠M＝∠CDM﹣∠ABM，

∵BN，DN分別平分∠ABM，∠CDM，

∴∠CDN﹣∠ABN＝∠CDM﹣∠ABM＝（∠CDM﹣∠ABM）＝∠M＝∠N＝25°，

∴∠M＝50°；

（3）如圖⑥，過G，F，E分別作GN∥AB，FH∥AB，EP∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥GN∥FH∥EP∥CD，

∴∠2＝∠GFH，∠3＝∠EFH，

∴∠2+∠3＝∠GFE＝64°，

∴∠1+∠4＝∠BGF+∠DEF﹣∠GFE＝78°，

∵AB∥GN，EP∥CD，

∴∠ABG＝∠1，∠CDE＝∠4，

∴∠ABG+∠CDE＝78°，

∵BM，DM分別平分∠ABG，∠CDE，

∴∠ABM＝∠ABG，∠CDM＝∠CDE，

由如圖②中的結論可得∠M＝∠ABM+∠CDM＝（∠ABG+∠CDE）＝×78°＝39°，

故答案為：48，50，39．