Question

10．2013年9月23日強臺風“天兔”登錄深圳，伴隨著就是狂風暴雨．梧桐山山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，臺風過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得樹干的傾斜角為∠BAC=38°，大樹被折斷部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m．
（1）求∠DAC的度數(shù)；
（2）求這棵大樹折斷前的高度．（結果保留根號）

Answer 1

分析 （1）延長BA交EF于點G，利用三角形外角性質即可求出所求角的度數(shù)；
（2）過A作CD的垂線，垂足為H，在直角三角形ADH中，求出∠DAH=30°，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DH與AH的長，確定出三角形ACH為等腰直角三角形，求出CH，AH的長，由AC+CH+HD求出大樹高即可．

解答 解：（1）延長BA交EF于一點G，如圖所示，

則∠DAC=180°-∠BAC-∠GAE=180°-38°-（90°-23°）=75°；
（2）過點A作CD的垂線，設垂足為H，
在Rt△ADH中，∠ADC=60°，∠AHD=90°，
∴∠DAH=30°，
∵AD=3，
∴DH=$\frac{3}{2}$，AH=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
在Rt△ACH中，∠CAH=∠CAD-∠DAH=75°-30°=45°，
∴∠C=45°，
∴CH=AH=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，AC=$\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$，
則樹高$\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$+$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$+$\frac{3}{2}$（米）．

點評 此題屬于解直角三角形的應用-坡度坡角問題，涉及的知識有：勾股定理，含30度直角三角形的性質，特殊角的三角函數(shù)值，以及外角性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．