已知△ABC是直角三角形，C為直角，AC≠BC，若點(diǎn)P是△ABC所在平面上的點(diǎn)（P≠A，B，C），使得P，B，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形和△ABC相似，則這樣的點(diǎn)P最多有
11
11
個(gè)．
分析：這樣的點(diǎn)有11個(gè)，分為三大類(lèi)，第一類(lèi)，若P，B及C構(gòu)成的三角形與原三角形全等，滿(mǎn)足題意的點(diǎn)P有3個(gè)位置，如圖所示；第二類(lèi)若P，B，及C構(gòu)成的直角三角形，∠CPB為直角，即BC為斜邊，滿(mǎn)足題意的點(diǎn)P有4個(gè)位置，如圖所示；第三類(lèi)若∠PCB或∠PBC為直角，即PB或PC為斜邊，滿(mǎn)足題意的點(diǎn)P有4個(gè)位置，如圖所示，綜上，得到滿(mǎn)足題意的P最多有11個(gè)位置．
解答：解：這樣的P最多有11個(gè)，如圖所示：
分為三大類(lèi)：
①若P，B及C構(gòu)成的三角形與原三角形全等，有三種情況：P5，P6，P7，如圖；
②若∠BPC=90°時(shí)，有四種情況：P1，P2，P3，P4，如圖；
③若∠PCB或∠PBC為直角，共有4種情況：P8，P9，P10，P11，如圖．
故答案為：11．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定，利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生借助圖形，根據(jù)P，B及C構(gòu)成的直角三角形的直角頂點(diǎn)的不同，以及對(duì)應(yīng)邊的不同，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，分情況得出所有滿(mǎn)足題意的P點(diǎn)．做題注意不要遺漏解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

11、已知△ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且三條高的交點(diǎn)恰好是C點(diǎn)，則△ABC的形狀是
等腰直角三角形
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

24、如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90度．
（1）操作并觀(guān)察，如圖，將三角板的45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，使這個(gè)角落在∠ACB的內(nèi)部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀(guān)察在點(diǎn)E、F的位置發(fā)生變化時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)線(xiàn)段是否始終是EF？寫(xiě)出觀(guān)察結(jié)果．
（2）探索：AE、EF、FB這三條線(xiàn)段能否組成以EF為斜邊的直角三角形？如果能，試加以證明．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△BPQ為直角三解形；
（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：填空題

已知△ABC是直角三角形，C為直角，AC≠BC，若點(diǎn)P是△ABC所在平面上的點(diǎn)（P≠A，B，C），使得P，B，C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形和△ABC相似，則這樣的點(diǎn)P最多有________個(gè)．

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