如圖,已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形,動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速運動,其中點P運動的速度是1cm/s,點Q運動的速度是2cm/s,當點Q到達點C時,P、Q兩點都停止運動.設運動時間為t(s),解答下列問題:
(1)當t為何值時,△BPQ為直角三解形;
(2)設△BPQ的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關系式;
(3)作QR∥BA交AC于點R,連接PR,當t為何值時,△APR∽△PRQ?
分析:(1)分兩種情況考慮:(i)當PQ⊥BC時,如圖所示,由速度是1厘米/秒,時間是t秒,利用速度×時間=路程表示出AP與BQ的長,再由AB-AP表示BP,由三角形ABC為等邊三角形,得到∠B=60°,在直角三角形BPQ中,利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;(ii)當QP⊥AB時,如圖所示,由速度是1厘米/秒,時間是t秒,利用速度×時間=路程表示出AP與BQ的長,再由AB-AP表示BP,由三角形ABC為等邊三角形,得到∠B=60°,在直角三角形BPQ中,利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,綜上,得到所有滿足題意的t的值.
(2)根據(jù)∠B為60°特殊角,過Q作QE⊥AB,垂足為E,則BQ、BP、高EQ的長可用t表示,S與t的函數(shù)關系式也可求;
(3)由題目線段的長度可證得△CRQ為等邊三角形,進而得出四邊形EPRQ是矩形,由△APR∽△PRQ,可得出∠QPR=60°,利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值.
解答:解:(1)分兩種情況考慮:
(i)當PQ⊥BC時,如圖1所示:

由題意可得:AP=tcm,BQ=2t厘米,BP=(6-t)厘米,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=60°,
在Rt△BPQ中,cos60°=
BQ
BP
=
1
2
,即
2t
6-t
=
1
2
,
解得:t=
6
5
(秒);
(ii)當QP⊥AB時,如圖2所示:

由題意可得:AP=tcm,BQ=2t厘米,BP=(6-2t)厘米,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=60°,
在Rt△BPQ中,cos60°=
BP
BQ
=
1
2
,即
6-t
2t
=
1
2
,
解得:t=3(秒),
綜上所述,t=
6
5
或3時,△BPQ為直角三解形;

(2)如圖3,過Q作QE⊥AB,垂足為E
由QB=2t,得QE=2t•sin60°=
3
t
由AP=t,得PB=6-t
∴S△BPQ=
1
2
×BP×QE=
1
2
(6-t)×
3
t=-
3
2
t2+3
3
t
∴S=-
3
2
t2+3
3
t;

(3)如圖4,∵QR∥BA,
∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等邊三角形,
∴QR=RC=QC=6-2t,
∵BE=BQ•cos60°=
1
2
×2t=t,
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,
∴EP∥QR,EP=QR
∴四邊形EPRQ是平行四邊形,
∴PR=EQ=
3
t,
又∵∠PEQ=90°,
∴∠APR=∠PRQ=90°,
∵△APR∽△PRQ,
∴∠QPR=∠A=60°,
∴tan60°=
QR
PR

6-2t
3
t
=
3
,
解得t=
6
5

∴當t=
6
5
時,△APR∽△PRQ.
點評:此題考查了等邊三角形的判定及性質、三角形相似、解直角三角形、函數(shù)等知識.利用了分類討論及方程的思想,熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵.
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