Question

【題目】已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A（﹣1，0）．

（I）求該拋物線的解析式；

（Ⅱ）D為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△ACD的周長最小時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（Ⅲ）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使CP恰好將以A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形的面積分為相等的兩部分？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）y＝﹣x2+2x+3；（Ⅱ）點(diǎn)D（1，2）；（Ⅲ）點(diǎn)P（5，﹣12）．

【解析】

（1）拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），則拋物線的表達(dá)式為：＝﹣x2+bx+3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式，即可求解；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝1，點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B（3，0），連接BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為所求，即可求解；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，PC是四邊形的邊，故CP不可能平分以A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形的面積，當(dāng)點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），將點(diǎn)P、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+n并解得：

直線PC的表達(dá)式為：y＝（2﹣m）x+3，過點(diǎn)A、B分別作CP的等距離的平行線m、n，分別交y軸于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)，即6＝3m﹣6+2﹣m，即可求解．

解：（1）拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），則拋物線的表達(dá)式為：y═﹣x2+bx+3，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：b＝2，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）拋物線的對稱軸為：x＝1，點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B（3，0），

連接BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為所求，

由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，

當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，

故點(diǎn)D（1，2）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在第一、二象限時(shí)，PC是四邊形的邊，故CP不可能平分以A，B，C，P為頂點(diǎn)的四邊形的面積，

當(dāng)點(diǎn)P在第三、四象限時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+3），

將點(diǎn)P、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+n并解得：

直線PC的表達(dá)式為：y＝（2﹣m）x+3，

過點(diǎn)A、B分別作CP的等距離的平行線m、n，分別交y軸于點(diǎn)M、N，

則直線m的表達(dá)式為：y＝（2﹣m）x+k，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：k＝3m﹣6，即點(diǎn)M（0，3m﹣6），

同理可得：點(diǎn)N（0，2﹣m），

則點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)，即6＝3m﹣6+2﹣m，

解得：m＝5，

故點(diǎn)P（5，﹣12）．