Question

【題目】【問題探究】用同樣大小的小正方形紙片，按下圖的方式拼正方形．

規(guī)律：第①個圖形中有1個小正方形；

第②個圖形比第①個圖形多3個小正方形；

第③個圖形比第②個圖形多5個小正方形；

……

第(n+1)個圖形比第n個圖形多________個小正方形．

可發(fā)現(xiàn)以下結論：（1）1+3+5+…+（2n－1）= ____________．

（2）(n+1)2－n2 = ____________．

【知識運用】

運用一：如果一個數(shù)可用幾個連續(xù)的奇數(shù)和來表示，我們稱這個數(shù)為“好數(shù)”，例如：9=1+3+5，32=5+7+9+11，則稱9和32都是“好數(shù)”．

請嘗試將下列“好數(shù)”用連續(xù)奇數(shù)的和表示出來：

（1）=_____________________________________．

（2）99 =_____________________________________．

運用二：利用上面的結論，請計算的值．

Answer 1

【答案】 （2n+1） n2 2n+1 1+3+5+7+9+11+13 3+5+7+9+11+13+15+17+19 或 31+33+35

【解析】試題分析：

【問題探究】

第②個圖形比第①個圖形多3＝2×2－1個小正方形；

第③個圖形比第②個圖形多5＝2×3－1個小正方形；

……

第n個圖形比第n－1個圖形多2n－1個小正方形

第(n＋1)個圖形比第n個圖形多2(n＋1)－1＝2n＋1個小正方形；

（1）1＋3＋5＋…＋（2n－1）表示第n個圖形的小正方形個數(shù)，所以1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2；

（2）(n＋1)2－n2表示第(n＋1)個圖形比第n個圖形多的小正方形個數(shù)，所以(n＋1)2－n2＝2n＋1．

【知識運用】

運用一：

（1）由以上可知1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2，令n＝7，則有72＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13；

（2）99＝100－1

＝102－1

＝1＋3＋5＋…＋19－1

＝3＋5＋…＋19；

或99＝182－152

＝(1＋3＋5＋…＋35)－(1＋3＋5＋…＋29)

＝31＋33＋35；

運用二：

將原式每兩項分為一組，然后利用前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(n＋1)2－n2＝2n＋1進行解答即可．

試題解析：

【問題探究】

第(n＋1)個圖形比第n個圖形多 （2n＋1） 個小正方形．

可發(fā)現(xiàn)以下結論：（1）1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ n2 ．

（2）(n＋1)2－n2 ＝ 2n＋1 ．

【知識運用】

運用一：

（1）72＝ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 ．

（2）99 ＝ 3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19 或 31＋33＋35 ．（填一種即可）

運用二：

（法一）：原式＝（22－1）＋(42－32)＋（62－52）＋…＋（282－272）

＝（2×1＋1）＋（2×3＋1）＋（2×5＋1）＋…＋（2×27＋1）

＝ 2×（1＋3＋5＋…＋27）＋14

＝ 2×196＋14

＝ 406

（法二）：原式＝ （22－1）＋(42－32)＋（62－52）＋…＋（282－272）

＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋…＋27＋28

＝

＝ 406