Question

如圖，點(diǎn)P是直線：上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的另一條直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)．

（1）若直線的解析式為，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）①若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－2，），當(dāng)PA＝AB時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

     ②試證明：對(duì)于直線上任意給定的一點(diǎn)P，在拋物線上都能找到點(diǎn)A，使得PA＝AB成立．

（3）設(shè)直線交軸于點(diǎn)C，若△AOB的外心在邊AB上，且∠BPC＝∠OCP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）依題意，得解得，

∴A（，），B（1，1）．

（2）①A₁（－1，1），A₂（－3，9）．

        ②過(guò)點(diǎn)P、B分別作過(guò)點(diǎn)A且平行于軸的直線的垂線，垂足分別為G、H.

    設(shè)P（，），A（，），∵PA＝PB，∴△PAG≌△BAH，

∴AG＝AH，PG＝BH，∴B（，），

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線，得，

∵△＝

∴無(wú)論為何值時(shí)，關(guān)于的方程總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，即對(duì)于任意給定的

點(diǎn)P，拋物線上總能找到兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)A．

（3）設(shè)直線：交y軸于D，設(shè)A（，），B（，）．

過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AG、BH垂直軸于G、H．

∵△AOB的外心在AB上，∴∠AOB＝90°，

由△AGO∽△OHB，得，∴．

聯(lián)立得，依題意，得、是方程的兩根，∴，∴，即D（0，1）．

∵∠BPC＝∠OCP，∴DP＝DC＝3．P

設(shè)P（，），過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥軸于Q，在Rt△PDQ中，，

∴．∴（舍去），，∴P（，）．

∵PN平分∠MNQ，∴PT＝NT，∴，