Question

．如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足E為BC中點(diǎn)，連接DE，F(xiàn)為DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．

（1）求證：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=2，求AF的長．

Answer 1

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB∥CD，得出∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，再由已知條件和鄰補(bǔ)角關(guān)系求出∠AFD=∠C，即可得出結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得出AD=AB=BC=2，由勾股定理求出AE、DE，再由相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例，即可求出AF的長．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，

∴△ADF∽△DEC；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB=BC=2，

∵AE⊥BC，E為BC中點(diǎn)，

∴AE⊥AD，BE=BC=1，

∴∠DAE=90°，AE==，

∴DE==，

∵△ADF∽△DEC，

∴，

即，

解得：AF=．

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握菱形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．