Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于點，與x軸負半軸交于B，與正半軸交于點，且．

（1）求該二次函數解析式；

（2）若是線段上一動點，作，交于點，連結當面積最大時，求點的坐標；

（3）若點為軸上方的拋物線上的一個動點，連接，設所得的面積為．問：是否存在一個的值，使得相應的點有且只有個，若有，求出這個的值，并求此時點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在一個的值，使得相應的點有且只有個，這個的值為16，此時點的橫坐標為4或．

【解析】

（1）先根據點A、C的坐標得出OA、OC的長，再根據相似三角形的判定與性質求出OB的長，從而可得點B的坐標，然后根據點B、C的坐標可設二次函數解析式的交點式，最后將點A的坐標代入求解即可得；

（2）先根據點B、C的坐標求出BC的長，從而可得面積，設，則，再根據相似三角形的判定與性質可得面積，然后利用面積減去面積可得面積，最后利用二次函數的性質即可得；

（3）先利用待定系數法求出直線AC的解析式，設，從而可得，再分和兩種情況，分別求出S與m之間的函數表達式，然后利用二次函數的性質求出S的取值范圍，找出符合條件的S值即可．

（1）

又

，即

解得

點B的坐標為

由可設二次函數的解析式為

將代入得：

解得

則二次函數的解析式為

故二次函數的解析式為；

（2）

設，則

，即

由二次函數的性質可知，當時，取得最大值，最大值為

故當面積最大時，點的坐標為；

（3）設直線AC的解析式為

將得，解得

直線AC的解析式為

設

因為點為軸上方的拋物線上的一個動點

所以

由題意，分以下兩種情況：

①當時

如圖1，過作軸于點，交于，則

則

由二次函數的性質可知，當時，S隨m的增大而增大；當時，S隨m的增大而減小

則此時S的最大值為，最小值為

即有

②當時

如圖2，過作軸于點，交延長線于，則

則

由二次函數的性質可知，當時，S隨m的增大而減小

則此時S的最大值為，最小值為

即有

由二次函數的圖象與性質可得如下結論：

當時，在范圍內沒有相應的點，在范圍內相應的點有1個，即共有1個

當時，在范圍內相應的點有2個，在范圍內相應的點有1個，即共有3個

當時，在范圍內相應的點有1個，在范圍內相應的點有1個，即共有2個

當時，在范圍內沒有相應的點，在范圍內相應的點有1個，即共有1個

由此可知，當時，相應的點有且只有個

在范圍內，當時，

在范圍內，當時，，解得或（不符題設，舍去）

綜上，存在一個的值，使得相應的點有且只有個，這個的值為16，此時點的橫坐標為4或．